Esecizio su tensori dubbio
salve ragazzi una domanda su un esercizio di algebra tensoriale
se ho
$\vec(v)=v^je_j$ e $\vec(u)=u^ie_i)$ calcolare $\nabla_{\vec(u)} \vec(v)$ io ho svolto i calcoli è sono arrivato a questo risultato
$\nabla_{\vec(u)} \vec(v)=u^ie_j \frac {\partial v^j } {\partial x^i} +(u^ie_j+u^ie_k)\Gamma_{ij}^k v^j$
ma il libro mi dice che il risultato è $(u^iv^j\Gamma_{ij}^k+u^i\frac{\partial v^k} {\partial x^i))e_k$
mi potete dire dove ho sbagliato o almeno indirizzarmi a vedere l'errore
grazie in anticipo
se ho
$\vec(v)=v^je_j$ e $\vec(u)=u^ie_i)$ calcolare $\nabla_{\vec(u)} \vec(v)$ io ho svolto i calcoli è sono arrivato a questo risultato
$\nabla_{\vec(u)} \vec(v)=u^ie_j \frac {\partial v^j } {\partial x^i} +(u^ie_j+u^ie_k)\Gamma_{ij}^k v^j$
ma il libro mi dice che il risultato è $(u^iv^j\Gamma_{ij}^k+u^i\frac{\partial v^k} {\partial x^i))e_k$
mi potete dire dove ho sbagliato o almeno indirizzarmi a vedere l'errore
grazie in anticipo
Risposte
Vediamo
[tex]$\nabla_u v=\nabla_{u^i e_i}(v^j e_j)=u^i\left[\nabla_{e_i}(v^j e_j)\right]=u^i\left(e_i(v^j) e_j+v^j \Gamma_{ij}^k e_k\right)$[/tex]
da cui, essendo [tex]$e_i(v^j)=\frac{\partial v^j}{\partial x^i}$[/tex] e cambiando l'indice saturo $j$ nella prima sommatoria con $k$
[tex]$\nabla_u v=u^i\left(\frac{\partial v^k}{\partial x_i}+v^j\Gamma_{ij}^k\right)e_k$[/tex]
[tex]$\nabla_u v=\nabla_{u^i e_i}(v^j e_j)=u^i\left[\nabla_{e_i}(v^j e_j)\right]=u^i\left(e_i(v^j) e_j+v^j \Gamma_{ij}^k e_k\right)$[/tex]
da cui, essendo [tex]$e_i(v^j)=\frac{\partial v^j}{\partial x^i}$[/tex] e cambiando l'indice saturo $j$ nella prima sommatoria con $k$
[tex]$\nabla_u v=u^i\left(\frac{\partial v^k}{\partial x_i}+v^j\Gamma_{ij}^k\right)e_k$[/tex]
ho capito l'errore ho sbagliato nel separare la componente dal versore
"DerivoxTe":
ho capito l'errore ho sbagliato nel separare la componente dal versore
Versore? Quale versore?
la base $e_i$ l'avevo derivata in divisa dalla componete 
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