Esecizio di topologia

[squalllionheart]

Allora vorrei sapere se è giusto.
L'esercizio diceva di dimostrare che in generale l'intersezione di una famiglia di aperti nn è un aperto.
Allora se prendo i dischi aperti in $RR^2$, cioè gli insiemi del tipo $D_k={(x,y)in RR^2 : x^2+y^2 Che dite funge, è scritto bene?

[alle.fabbri]

Quello che hai scritto è solo leggermente inesatto. L'intersezioni di un numero finito di aperti è un aperto, come anche l'unione infinita. Quello che può non essere aperto è l'intersezione infinita di aperti.
L'esempio che riporti tu funziona se lo riscrivi così, definisci la famiglia di aperti
$B_k = {(x,y) in RR^2 : x^2+y^2 = 1/(k^2)}$ allora $nnn_(k=1)^(\infty) B_k = {(0,0)}$ che è chiuso perchè è un punto.

Poi, così a livello informativo, ti faccio notare che non hai dimostrato la cosa in generale, ma solo per la topologia delle sfere aperte in $RR^2$.

[squalllionheart]

$D_k={(x,y)in RR^2 : x^2+y^2 E in generale basta che prendo il disco n-enne dimensionale che definisco nel seguente modo $D_n={x inRR^n : x_1^2+x_2^2+...+x_n^2<1}$ ?
Scritto così va bene?
Thanks.

[miuemia]

scusater mi potete dire come mai $B_k$ è aperto?

[squalllionheart]

me lo chiedevo anche io poi ho pensato che la scrittura è equivalente a quella standard dato che $r=1/k^2$ con $k->oo$ il segno di $=$ in questo caso specifico credo che sia equivalente al $<$ inteso nella notazione standard.

[alle.fabbri]

eh.....secondo me no. Per come la metti giù te se k=1,2,... allora l'intersezione infinita è uguale a $D_1$ che è aperto, quindi non hai trovato il controesempio. Se k=0,1,2,... allora hai che l'intersezione infinita è uguale all'insieme vuoto, perchè $D_0 = {x in RR^n : |x|<0} = \varphi$ siccome la norma è definita come non negativa.

A proposito del dimostrare il teorema nel caso generale intendevo un'altra cosa, cioè che le nozioni topologiche sono pre-metriche, nel senso che per avere una topologia non devi necessariamente avere una distanza. Quindi tu non stai dimostrando che in generale una intersezione infinita di aperti non è aperta, ma che l'intersezione infinita di sfere aperte (cioè una particolare topologia, indotta dalla distanza) non è aperta.

[alle.fabbri]

No no no......raga scusatemi un sacco......ho proprio sbagliato a scrivere......è così

$B_k = {x in RR^n : |x| < 1/k, k=1,2,.....}$

(il quadrato per k non è nemmeno necessario...)

Altrimenti, come giustamente faceva notare miuemia, l'insieme non sarebbe nemmeno aperto, e per k diversi avremmo insiemi disgiunti...

Scusate ancora per la svista.....

[squalllionheart]

Ma se dovessimo definirla con la notazione del disco, simile a quella che ho usato andrebbe bene scrivere
$D_k={x inR^n : x_1^2+x_2+....+x_n^2<1/k}$ in questo caso l'intersezione infinita è il vuoto. Giusto?

[alle.fabbri]

C'è differenza tra il vuoto e un insieme che contiene un solo punto.
L'intersezione infinita degli ultimi D_k darebbe come risultato {(0,0)} cioè l'insieme costituito solo dall'origine.

[squalllionheart]

ma va per dimostrare, un punto non è un aperto, scusami, per queto esercizio andava bene dimostrare che l'intersezione o è vuota o è un punto. che dici?

[alle.fabbri]

"squalllionheart":
Ma se dovessimo definirla con la notazione del disco, simile a quella che ho usato andrebbe bene scrivere
$D_k = {x in RR^n : x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 < 1/k}$
in questo caso l'intersezione infinita è il vuoto. Giusto?

Così va bene....però devi calcolare l'intersezione infinita correttamente. Il risultato è {(0,0)}. E hai fatto perchè hai trovato il controesempio.

"squalllionheart":
ma va per dimostrare, un punto non è un aperto, scusami, per queto esercizio andava bene dimostrare che l'intersezione o è vuota o è un punto. che dici?

mi spiace ma non ho capito cosa vuoi dire.....

[squalllionheart]

ok. tutto a posto. Grazie ancora per l'attenzione.