Esattezza di una forma differenziale
Al campo vettoriale $F(x_1 , x_2 , x_3 ) = ( - x_1 , - 2 x_2 , 3 x_3 )$, $F : RR^3 \to RR^3$, si può associare una 2-forma differenziale $\omega$.
Devo dimostrare che $\omega$ è esatta.
\[ \displaystyle \omega = - x_1 dx_1 \wedge dx_2 - 2 x_2 dx_1 \wedge dx_3 + 3 x_3 dx_2 \wedge dx_3 \]
Il dominio è semplicemente connesso, quindi
\[ \displaystyle d \omega = 0 \iff \omega \text{ esatta} \]
Però:
\[ \displaystyle d \omega = 2 dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \]
Ho sbagliato qualcosa?
P.S.: Ho fissato io questa base: $(dx_1 \wedge dx_2 , dx_1 \wedge dx_3 , dx_2 \wedge dx_3 )$.
Grazie.
Devo dimostrare che $\omega$ è esatta.
\[ \displaystyle \omega = - x_1 dx_1 \wedge dx_2 - 2 x_2 dx_1 \wedge dx_3 + 3 x_3 dx_2 \wedge dx_3 \]
Il dominio è semplicemente connesso, quindi
\[ \displaystyle d \omega = 0 \iff \omega \text{ esatta} \]
Però:
\[ \displaystyle d \omega = 2 dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \]
Ho sbagliato qualcosa?
P.S.: Ho fissato io questa base: $(dx_1 \wedge dx_2 , dx_1 \wedge dx_3 , dx_2 \wedge dx_3 )$.
Grazie.
Risposte
Mi sa che hai ragione. Il differenziale del secondo addendo non si annulla. Però ora non ti so dire se l'associazione \(F \leftrightarrow \omega\) sia fatta bene o no.
(Io sposterei in Geometria, comunque)
(Io sposterei in Geometria, comunque)
Ti ringrazio, Dissonance. Sposto in Geometria come da te consigliato.
Scegliendo $(dx_2 \wedge dx_3 , dx_3 \wedge dx_1 , dx_1 \wedge dx_2 )$ al posto di quella "canonica" $(dx_1 \wedge dx_2 , dx_1 \wedge dx_3 , dx_2 \wedge dx_3 )$.
$\omega$ sarebbe:
\[ \displaystyle \omega = - x_1 dx_2 \wedge dx_3 - 2 x_2 dx_3 \wedge dx_1 + 3 x_3 dx_1 \wedge dx_2 \]
e quindi $d\omega$, con questa base, è
\[ \displaystyle d\omega = \text{div}(F) dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \]
e \[ \displaystyle \text{div}(F) = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \frac{\partial F_3}{\partial x_3} = 0 \]
Quindi nell'esercizio era sottointesa questa scelta della base. Vi pare?
Scegliendo $(dx_2 \wedge dx_3 , dx_3 \wedge dx_1 , dx_1 \wedge dx_2 )$ al posto di quella "canonica" $(dx_1 \wedge dx_2 , dx_1 \wedge dx_3 , dx_2 \wedge dx_3 )$.
$\omega$ sarebbe:
\[ \displaystyle \omega = - x_1 dx_2 \wedge dx_3 - 2 x_2 dx_3 \wedge dx_1 + 3 x_3 dx_1 \wedge dx_2 \]
e quindi $d\omega$, con questa base, è
\[ \displaystyle d\omega = \text{div}(F) dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \]
e \[ \displaystyle \text{div}(F) = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \frac{\partial F_3}{\partial x_3} = 0 \]
Quindi nell'esercizio era sottointesa questa scelta della base. Vi pare?
Ah ecco quindi con questa associazione ritrovi i risultati sui campi vettoriali a divergenza nulla, che (su domini semplicemente connessi) sono il rotore di altri campi vettoriali. Secondo me era questa la riflessione alla base dell'esercizio. Per curiosità, cosa stai studiando?
Un corso di Analisi sulla teoria dell'integrazione. In particolare l'ultima sezione del corso tratta l'integrazione di forme differenziali (ed infatti l'esercizio prosegue chiedendo una primitiva della forma $\omega$ e la diretta verifica in questo caso specifico della formula di Stokes, data una certa varietà differenziale).
C'è un esercizio su questo argomento su Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry vol. I, 3a edizione: è l'esercizio 27 del capitolo 7 "Differential forms". E' praticamente lo stesso assegnato qui e spende qualche parola sull'argomento alla maniera di Spivak, che è un noto chiacchierone! 
Interessante! Ti ringrazio della dritta. Cercherò di procurarmelo.
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