Esame geometria. numero complesso.
questo è uno degli esercizi del compito d'esame di geometria - facoltà di ingegneria. non ho fatto l'esame ma mi hanno dato il testo e così ho provato a risolvere uno degli esercizi.
pensate sia corretto? mi sarebbe davvero utile capire se ho commesso errori...
vi ringrazio anticipatamente.
pensate sia corretto? mi sarebbe davvero utile capire se ho commesso errori...
vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Ciao! Secondo me era molto più semplice semplificare prima $z_a$ con $z_c$ e così al denominatore avevi $(1+i)^3$. Il passo successivo in questi casi semplici è quello di scrivere i numeri complessi come $\rho e^{i\vartheta}$. In questo caso hai $(1-i)=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i}$ e quindi $z_a=(\sqrt{2})^{17}e^{-\frac{17\pi}{4}i}=(\sqrt{2})^{17}e^{-\frac{\pi}{4}i}$. Poi $(1+i)^3=(\sqrt{2})^3e^{\frac{3\pi}{4}i}$ e dividendo ottieni $z=2^7e^{-\pi i}=-128$. E fin qui c'eri arrivato (non in modo molto furbo a dire il vero). Adesso il modulo è 128 (ricordati positivo) l'argomento non può essere 0 sennò $z$ sarebbe positivo. L'argomento è $-\pi$ e lo vedi o dal segno o dalla precedente espressione. Spero di essere stato chiaro. Ciao![/tex]
In realtà c'era un modo ancora più semplice: se $z_1$ e $z_2$ sono due numeri complessi con [tex]$|z_1|,\ |z_2|$[/tex] i loro moduli e [tex]$\arg(z_1),\ \arg(z_2)$[/tex] i loro argomenti, allora
[tex]$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|,\ \arg(z_1\cdot z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2),\qquad |z_1/z_2|=|z_1|/|z_2|,\ \arg(z_1/z_2)=\arg(z_1)-\arg(z_2)$[/tex].
Essendo
[tex]$|1+i|=|1-i|=|-1-i|=\sqrt{2},\quad \arg(1+i)=\frac{\pi}{4},\quad \arg(1-i)=\frac{7\pi}{4},\quad \arg(-1-i)=\frac{5\pi}{4}$[/tex]
segue che
[tex]$|z|=\frac{|1+i|^{15}\cdot|1-i|^{17}}{|-1-i|^{18}}=\frac{\sqrt{2}^{32}}{\sqrt{2}^{18}}=\sqrt{2}^{14}=2^7=128$[/tex]
[tex]$\arg(z)=15\cdot\frac{\pi}{4}+17\cdot\frac{7\pi}{4}-18\cdot\frac{5\pi}{4}=\frac{44\pi}{4}=11\pi\sim \pi$[/tex]
(sfruttando le periodicità).
@tyler: attento: il numero complesso risulta negativo, per cui è vero, sì che l'argomento è l'arcotangente di $0$, ma dovendo posizionare $z$ sul semiasse negativo delle ascisse, l'angolo corrispondente è quello di $\pi$ (metà giro di circonferenza).
[tex]$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|,\ \arg(z_1\cdot z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2),\qquad |z_1/z_2|=|z_1|/|z_2|,\ \arg(z_1/z_2)=\arg(z_1)-\arg(z_2)$[/tex].
Essendo
[tex]$|1+i|=|1-i|=|-1-i|=\sqrt{2},\quad \arg(1+i)=\frac{\pi}{4},\quad \arg(1-i)=\frac{7\pi}{4},\quad \arg(-1-i)=\frac{5\pi}{4}$[/tex]
segue che
[tex]$|z|=\frac{|1+i|^{15}\cdot|1-i|^{17}}{|-1-i|^{18}}=\frac{\sqrt{2}^{32}}{\sqrt{2}^{18}}=\sqrt{2}^{14}=2^7=128$[/tex]
[tex]$\arg(z)=15\cdot\frac{\pi}{4}+17\cdot\frac{7\pi}{4}-18\cdot\frac{5\pi}{4}=\frac{44\pi}{4}=11\pi\sim \pi$[/tex]
(sfruttando le periodicità).
@tyler: attento: il numero complesso risulta negativo, per cui è vero, sì che l'argomento è l'arcotangente di $0$, ma dovendo posizionare $z$ sul semiasse negativo delle ascisse, l'angolo corrispondente è quello di $\pi$ (metà giro di circonferenza).
effettivamente le vostre risoluzioni sono più efficaci, inoltre io ho cercato di non saltare nessun passaggio in modo che fosse chiaro.
grazie a tutti per i consigli.
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