Esame Geometria - Matrici, Funzioni e Sistemi di equazioni lineari
Salve a tutti, mi serve aiuto per risolvere una traccia di esame di geometria. Ho letto varie lezioni sul forum ma alcune cose non mi sono molto chiare.
Esercizio 1) Quali delle seguenti due implicazioni ("se e solo se") sono vere? Motivare le risposte.
A=
0 0 3
0 3 0
3 a 0
è diagonalizzabile se e solo se a = 0.
Ho calcolato gli autovalori con la formula P(λ) = det [A - λid]
A=
-λ 0 3
0 3-λ 0
3 a -λ
Il determinante è (λ - 3)^2(λ+3) e quindi gli autovalori sono λ=3 (molteplicità algebrica 2) e λ=-3 (molteplicità algebrica 1)
Affinché la matrice sia diagonalizzabile la molteplicità algebrica deve essere uguale a quella geometrica (Domanda: devo verificare questa condizione per tutti gli autovalori?). A questo punto non so come procedere. Il mio professore ha fatto così:
A diagonalizzabile sse dim Ker (A - 3I) = 2
Ker (A - 3I) =
-3 0 3
0 0 0
3 a -3
rg Ker (A - 3I)= 2 sse rg (A - 3I) = 1 sse a =0 (altrimenti minore non nullo di ordine 2)
Sono vere entrambe le implicazioni.
Ma sinceramente non ci ho capito niente.
Esercizio 2) Determinare l'inversa della seguente matrice M appartenente a M{4x4} (Z7)
M=
0 0 2 3
3 2 0 0
0 0 3 0
0 3 0 0
Usando Gauss ho ottenuto:
M=
0 1/3 0 2/9
0 0 0 1/3
0 0 1/3 0
1/3 0 2/9 0
A questo punto il problema è la conversione in Z7. Ho capito che devo considerare il resto della divisione per 7 del numero iniziale, ma non so come fare per i numeri minori di 7, i numeri negativi e le frazioni.
Esercizio 3) Sia data la funzione q:
R x R ----> R
(x,y) ----> 1 + x^3 + y^4
Rispondere alle seguenti domande motivando la risposta:
1) Vista come un'applicazione, la funzione è suriettiva?
2) Vista come operazione binaria, la funzione è commutativa?
3) Vista come operazione binaria, la funzione è associativa?
1) Non so come farlo. Il professore lo ha svolto così ma non ho capito molto bene, o meglio in questo caso più o meno si capisce, ma se provo ad applicare questo ragionamento ad altri esercizi non riesco a risolverli.
dato r appartenente a R
scegliamo opportunamente Y=0
r = q (x,0) = 1 - x^3
r - 1 = x^3
x = radice terza di r - 1 se r-1 > 0
- radice terza di |r - 1| se r-1 < 0
La funzione è suriettiva.
2) Qui ho usato la regola x q y = y q x. Quindi utilizzando 0 e 2:
0 q 2 = 1 + 0^3 + 2^4 = 17
2 q 0 = 1 + 2^3 + 0^4 = 9
La funzione non è commutativa.
3) Qui ho usato la regola (x q y) q z = x q (y q z). Quindi utilizzando 0, 1 e 2:
(0 q 1) q 2 = (1 + 0^3 + 1^4) q 2 = 2 q 2 = 1 + 2^3 + 2^4 = 25
0 q (1 q 2) = 0 q (1 + 1^3 + 2^4) = 0 q 18 = 1 + 0^3 + 18^4 = 104977
La funzione non è associativa.
Esercizio 4) Per quali valori del parametro reale h il seguente sistema di equazioni lineari ammette:
1) una sola soluzione;
2) infinite soluzioni;
3) nessuna soluzione.
Nei casi 1) e 2) determinare l'insieme di tutte le soluzioni.
3x + 2y + hz = 3/2
hx + 2y = 0
2x + hy = 1
Affinchè il sistema abbia una sola soluzione è necessario che il determinante della matrice incompleta sia diverso da 0.
det
3 2 h
h 2 0 = h(h-2)(h+2)
2 h 0
Si ha quindi una sola soluzione per h(h-2)(h+2) diverso da 0, cioè h diverso da 0, 2, -2.
Determino le soluzioni con Cramer.
x = det
3/2 2 h
0 2 0
1 h 0
---------------- = -2 / (h-2)(h+2)
h(h-2)(h+2)
y = h / (h-2)(h+2)
z = 3/2 h^2 - 2 / (h-2)(h+2)
casi particolari:
h = 0
3 2 0 x 3/2
0 2 0 y 0
2 0 0 z 1
Il sistema è compatibile sole se il rango della matrice incompleta A è uguale a quello della matrice completa (A/B) (Per il teorema Rouchè-Capelli). Sappiamo che il rango di A non può essere 3 perché per h=0 det A =0.
Considero la sottomatrice:
0 2
2 0
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (-4).
Ora considero al matrice completa
3 2 0 3/2
0 2 0 0
2 0 0 1
Il determinante può essere calcolato sole se la matrice è quadrata, quindi considero le sottomatrici 3x3. L'unica matrice che potrebbe avere determinante diverso da 0 è quello formato dalle colonne 1, 2 e 4, infatti se tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) sono nulli (come avviene nella colonna 3) il determinante vale 0, Quindi:
det
3 2 3/2
0 2 0 = 0
2 0 1
Considero quindi la sottomatrice 2x2:
det
0 2
2 0 = -4
Quindi 2 = rg(A) = rg(A/B) = 2. Il sistema è quindi compatibile.
Sottosistema significativo:
0 2 x 0
2 0 y 1
x =
det 0 2
1 0
------------- = 1/2
det 0 2
2 0
y = 0
h = 2
3 2 2 x 3/2
2 2 0 y 0
2 2 0 z 1
Considero la sottomatrice:
3 2
2 2
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (2).
Ora verifico il rango della matrice completa
3 2 2 3/2
2 2 0 0
2 2 0 1
Considero le sottomatrici 3x3 e verifico se almeno una ha determinante diverso da 0.
det
2 2 3/2
2 0 0 = 3
2 0 1
Quindi il rango di A (2) è diverso dal rango di A/B (3). Il sistema è quindi incompatibile.
h = -2
3 2 -2 x 3/2
-2 2 0 y 0
2 -2 0 z 1
Considero la sottomatrice:
3 2
-2 2
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (10).
Ora verifico il rango della matrice completa
3 2 -2 3/2
-2 2 0 0
2 -2 0 1
Considero le sottomatrici 3x3 e verifico se almeno una ha determinante diverso da 0.
det
2 -2 3/2
2 0 0 = 4
-2 0 1
Quindi il rango di A (2) è diverso dal rango di A/B (3). Il sistema è quindi incompatibile.
Grazie in anticipo.
Esercizio 1) Quali delle seguenti due implicazioni ("se e solo se") sono vere? Motivare le risposte.
A=
0 0 3
0 3 0
3 a 0
è diagonalizzabile se e solo se a = 0.
Ho calcolato gli autovalori con la formula P(λ) = det [A - λid]
A=
-λ 0 3
0 3-λ 0
3 a -λ
Il determinante è (λ - 3)^2(λ+3) e quindi gli autovalori sono λ=3 (molteplicità algebrica 2) e λ=-3 (molteplicità algebrica 1)
Affinché la matrice sia diagonalizzabile la molteplicità algebrica deve essere uguale a quella geometrica (Domanda: devo verificare questa condizione per tutti gli autovalori?). A questo punto non so come procedere. Il mio professore ha fatto così:
A diagonalizzabile sse dim Ker (A - 3I) = 2
Ker (A - 3I) =
-3 0 3
0 0 0
3 a -3
rg Ker (A - 3I)= 2 sse rg (A - 3I) = 1 sse a =0 (altrimenti minore non nullo di ordine 2)
Sono vere entrambe le implicazioni.
Ma sinceramente non ci ho capito niente.
Esercizio 2) Determinare l'inversa della seguente matrice M appartenente a M{4x4} (Z7)
M=
0 0 2 3
3 2 0 0
0 0 3 0
0 3 0 0
Usando Gauss ho ottenuto:
M=
0 1/3 0 2/9
0 0 0 1/3
0 0 1/3 0
1/3 0 2/9 0
A questo punto il problema è la conversione in Z7. Ho capito che devo considerare il resto della divisione per 7 del numero iniziale, ma non so come fare per i numeri minori di 7, i numeri negativi e le frazioni.
Esercizio 3) Sia data la funzione q:
R x R ----> R
(x,y) ----> 1 + x^3 + y^4
Rispondere alle seguenti domande motivando la risposta:
1) Vista come un'applicazione, la funzione è suriettiva?
2) Vista come operazione binaria, la funzione è commutativa?
3) Vista come operazione binaria, la funzione è associativa?
1) Non so come farlo. Il professore lo ha svolto così ma non ho capito molto bene, o meglio in questo caso più o meno si capisce, ma se provo ad applicare questo ragionamento ad altri esercizi non riesco a risolverli.
dato r appartenente a R
scegliamo opportunamente Y=0
r = q (x,0) = 1 - x^3
r - 1 = x^3
x = radice terza di r - 1 se r-1 > 0
- radice terza di |r - 1| se r-1 < 0
La funzione è suriettiva.
2) Qui ho usato la regola x q y = y q x. Quindi utilizzando 0 e 2:
0 q 2 = 1 + 0^3 + 2^4 = 17
2 q 0 = 1 + 2^3 + 0^4 = 9
La funzione non è commutativa.
3) Qui ho usato la regola (x q y) q z = x q (y q z). Quindi utilizzando 0, 1 e 2:
(0 q 1) q 2 = (1 + 0^3 + 1^4) q 2 = 2 q 2 = 1 + 2^3 + 2^4 = 25
0 q (1 q 2) = 0 q (1 + 1^3 + 2^4) = 0 q 18 = 1 + 0^3 + 18^4 = 104977
La funzione non è associativa.
Esercizio 4) Per quali valori del parametro reale h il seguente sistema di equazioni lineari ammette:
1) una sola soluzione;
2) infinite soluzioni;
3) nessuna soluzione.
Nei casi 1) e 2) determinare l'insieme di tutte le soluzioni.
3x + 2y + hz = 3/2
hx + 2y = 0
2x + hy = 1
Affinchè il sistema abbia una sola soluzione è necessario che il determinante della matrice incompleta sia diverso da 0.
det
3 2 h
h 2 0 = h(h-2)(h+2)
2 h 0
Si ha quindi una sola soluzione per h(h-2)(h+2) diverso da 0, cioè h diverso da 0, 2, -2.
Determino le soluzioni con Cramer.
x = det
3/2 2 h
0 2 0
1 h 0
---------------- = -2 / (h-2)(h+2)
h(h-2)(h+2)
y = h / (h-2)(h+2)
z = 3/2 h^2 - 2 / (h-2)(h+2)
casi particolari:
h = 0
3 2 0 x 3/2
0 2 0 y 0
2 0 0 z 1
Il sistema è compatibile sole se il rango della matrice incompleta A è uguale a quello della matrice completa (A/B) (Per il teorema Rouchè-Capelli). Sappiamo che il rango di A non può essere 3 perché per h=0 det A =0.
Considero la sottomatrice:
0 2
2 0
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (-4).
Ora considero al matrice completa
3 2 0 3/2
0 2 0 0
2 0 0 1
Il determinante può essere calcolato sole se la matrice è quadrata, quindi considero le sottomatrici 3x3. L'unica matrice che potrebbe avere determinante diverso da 0 è quello formato dalle colonne 1, 2 e 4, infatti se tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) sono nulli (come avviene nella colonna 3) il determinante vale 0, Quindi:
det
3 2 3/2
0 2 0 = 0
2 0 1
Considero quindi la sottomatrice 2x2:
det
0 2
2 0 = -4
Quindi 2 = rg(A) = rg(A/B) = 2. Il sistema è quindi compatibile.
Sottosistema significativo:
0 2 x 0
2 0 y 1
x =
det 0 2
1 0
------------- = 1/2
det 0 2
2 0
y = 0
h = 2
3 2 2 x 3/2
2 2 0 y 0
2 2 0 z 1
Considero la sottomatrice:
3 2
2 2
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (2).
Ora verifico il rango della matrice completa
3 2 2 3/2
2 2 0 0
2 2 0 1
Considero le sottomatrici 3x3 e verifico se almeno una ha determinante diverso da 0.
det
2 2 3/2
2 0 0 = 3
2 0 1
Quindi il rango di A (2) è diverso dal rango di A/B (3). Il sistema è quindi incompatibile.
h = -2
3 2 -2 x 3/2
-2 2 0 y 0
2 -2 0 z 1
Considero la sottomatrice:
3 2
-2 2
e mi accorgo che il rango di A è 2 perché il determinante è diverso da 0 (10).
Ora verifico il rango della matrice completa
3 2 -2 3/2
-2 2 0 0
2 -2 0 1
Considero le sottomatrici 3x3 e verifico se almeno una ha determinante diverso da 0.
det
2 -2 3/2
2 0 0 = 4
-2 0 1
Quindi il rango di A (2) è diverso dal rango di A/B (3). Il sistema è quindi incompatibile.
Grazie in anticipo.
Risposte
Hai messo tutta la Geometria in un unico post !! Meglio mettere un solo esercizio in un post.
Esercizio 1 : sì devi verificare la condizione $m_g=m_a$ cioè uguaglianza di molteplicità algebrica e geometrica per tutti gli autovalori .
Va verificato in particolare che la molteplicità geometrica dell'autovalore $ lambda=3 $ sia 2 così come è quella algebrica.
Cosa vuol dire molteplicità geometrica =2 ? vuol dire che l'autospazio corrispondente ha dimensione =2.
Non fa altro che vedere se le soluzioni del sistema omogeneo $(A-lambdaI )X=0 $ con $ lambda = 3 $ sono $oo^2 $ .
Si ottiene la matrice $((-3,0,3),(0,0,0),(3,a,-3))$
Le soluzioni del sistema omogeneo sono ( vedi Rouchè Capelli ) $oo^(n-r) $ essendo $n=3 $ numero delle variabili et $r $ rango della matrice Perché il sistema abbia $oo^2 $ soluzioni che sono gli autovettori deve essere $r=1 $ il che comporta $a=0 $ , altrimenti se $a ne 0 $ il rango della matrice sarebbe 2 in quanto esisterebbe un minore non nullo di ordine 2 , esattamente il minore $((-3,0),(3,a))$
Spero di non averti confuso le idee...
Esercizio 1 : sì devi verificare la condizione $m_g=m_a$ cioè uguaglianza di molteplicità algebrica e geometrica per tutti gli autovalori .
Va verificato in particolare che la molteplicità geometrica dell'autovalore $ lambda=3 $ sia 2 così come è quella algebrica.
Cosa vuol dire molteplicità geometrica =2 ? vuol dire che l'autospazio corrispondente ha dimensione =2.
Non fa altro che vedere se le soluzioni del sistema omogeneo $(A-lambdaI )X=0 $ con $ lambda = 3 $ sono $oo^2 $ .
Si ottiene la matrice $((-3,0,3),(0,0,0),(3,a,-3))$
Le soluzioni del sistema omogeneo sono ( vedi Rouchè Capelli ) $oo^(n-r) $ essendo $n=3 $ numero delle variabili et $r $ rango della matrice Perché il sistema abbia $oo^2 $ soluzioni che sono gli autovettori deve essere $r=1 $ il che comporta $a=0 $ , altrimenti se $a ne 0 $ il rango della matrice sarebbe 2 in quanto esisterebbe un minore non nullo di ordine 2 , esattamente il minore $((-3,0),(3,a))$
Spero di non averti confuso le idee...
Ok, grazie, mi è un po' più chiaro. Devo fare lo stesso procedimento per = -3?
A diagonalizzabile sse dim Ker (A + 3I) = 1
Ker (A + 3I) =
3 0 3
0 6 0
3 a 3
rg Ker (A + 3I)= 1 sse rg (A + 3I) = 2 sse a =0 (considero la matrice 0 6 // 3 a)
é così?
A diagonalizzabile sse dim Ker (A + 3I) = 1
Ker (A + 3I) =
3 0 3
0 6 0
3 a 3
rg Ker (A + 3I)= 1 sse rg (A + 3I) = 2 sse a =0 (considero la matrice 0 6 // 3 a)
é così?
Non è necessario verificare la molteplicità geometrica dell'autovalore λ=−3 in quanto esiste un teorema che dice :
La molteplicità geometrica di un autovalore non supera la sua molteplicità algebrica , ergo se quella algebrica è 1 , pure 1 sarà quella geometrica e non è necessario verificarla .
Se però vogliamo farlo allora abbiamo la matrice $ ( ( 3,0,3),( 0,6,0),( 3,a,3 )) $ .
In questo caso non devi vedere se l'autospazio relativo ha dimensione 2 ma dimensione 1 perché λ=−3 ha molteplicità algebrica =1.
Di conseguenza il sistema omogeneo deve avere $oo^ 1$ soluzioni e quindi n−r=1 e quindi r=2 cioè la matrice sopra indicata deve avere rango 2 che in effetti ha, basta considerare la sottomatrice$ ((3,0),( 0,6 ) )$
Camillo
La molteplicità geometrica di un autovalore non supera la sua molteplicità algebrica , ergo se quella algebrica è 1 , pure 1 sarà quella geometrica e non è necessario verificarla .
Se però vogliamo farlo allora abbiamo la matrice $ ( ( 3,0,3),( 0,6,0),( 3,a,3 )) $ .
In questo caso non devi vedere se l'autospazio relativo ha dimensione 2 ma dimensione 1 perché λ=−3 ha molteplicità algebrica =1.
Di conseguenza il sistema omogeneo deve avere $oo^ 1$ soluzioni e quindi n−r=1 e quindi r=2 cioè la matrice sopra indicata deve avere rango 2 che in effetti ha, basta considerare la sottomatrice$ ((3,0),( 0,6 ) )$
Camillo
Perfetto, grazie mille. Per gli altri esercizi apro un altro topic?
Sì apri altri topic 1 per ogni esercizio , molto meglio.
Che CdL stai seguendo ? in Matematica ?
Che CdL stai seguendo ? in Matematica ?
Ok fatto. No, in informatica.
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