Esame Diagonalizzabilità e rette nel piano

[JoeBlack22]

Ho fatto il seguente esame ma non ho superato la prova.. Qualcuno mi può spiegare in cosa ho sbagliato?

Traccia
1. Considerare il seguente endomorfismo di R3:
f(x,y,z)=(3x+4y, -x-2y, x+2y+2z)
Studiare la diagonalizzabilità di f. Determinare gli autovalori di f e una base di autovettori dei relativi autospazi.

2. In uno spazio euclideo tridimensionale E, in cui sia fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette r1 e r2 di euquazioni cartesiane:
r1:
|3x+3y-z-1=0
|x-y-z+1=0
r2:
|3x-2y+4=0
|x+2z-3=0
Stabilire la posizione reciproca di r1, r2. Determinare una rapresentazione parametrica e una cartesiana della retta r ortogonale e incidente sia ad r1 che ad r2

Ecco come l'ho svolto

3-λ 4 0
-1 -2-λ 0
1 2 2-λ

Mi sono calcolato ild etermiannte che mi esce (2-λ)(λ-2)(λ+1)
Quindi ho gli autovalori λ=2 di molteplicità 2 e λ=-1 di molteplicità 1
Allora mi studio λ=2
1 4 0
-1 -4 0
1 2 0
Il rango mi esce 1 quindi è diagonalizzabile.

Poi mi studio gli autospazi.. :
con λ=2 mi esce 4x+4y=0 e forse qui ho sbagliato ho messo come base b=[(1,-4,0) (0,0,1)]
Poi con λ=-1 mi esce:
4x +4y=0
-x-y=0
x+2y+2=0
Facendo calcoli mi esce x=-y; z=x e quindi la base è B[(1,-1,1)]


Per quanto riguarda il secondo quesito mi so calcolato i vettori direttori.. l'ho calcolato col prodotto vettoriale e non con la forma parametrica..
nella prima retta mi esce (-4,2,-6) nella seconda mi esce (-4,-6,+2)
Poi trasformando le rette in parametriche ,i sono calcolato i punti:
P (1,0,2) apparatenente a r1
Q(0,2,3/2) appartenente a r2

Poi ho fatto la matrice (sottraendo el cordinate di P e Q)
1 -2 +1/2
-4 +2 -6
-4 -6 +2
E mi esce il det= -80 quindi le rette sono sghembe

poi mi sono calcolato i vettori direttori del piano col sistema
-4l +2m -6n=0
-4l -6m +2n=0
Semplificando per 2 e facendo riduzione mi è uscito m=n e quindi l=-n
Quindi mi esce (-1,1,1) mettendo un punt generico mi esce (-1,1,1,0)
Poi ho studiato i piano rispetto le rette r1 e r2
λ(3x+3y-z-t)+ &(x-y-z+t) dove sostituendo mi esce -λ+3&=0 quindi λ=-3&
Ho preso &=1 e λ=-3
Facendo i calcoli mi esce: -8x-10y+2z+4=0
Con r2 invece:
λ(3x-2y+4t)+&(z+2z-3)
Mi esce -5λ+&=0 quindi &=5λ
Ho preso λ=1 e &=5
Sostituendo mi esce: 8x-2y+10z-11=0

Quindi la retta r mi esce:
|-8x-10y+2z+4=0
|8x-2y+10z-11=0

[cooper1]

ti posso aiutare solo sul primo.
a me esce che l'endomorfismo non è diagonalizzabile. (il rango comunque è 2 e non 1). trovo una certa conferma nell'andare a studiare gli autospazi, infatti:
$lambda = 2$

"JoeBlack22":con λ=2 mi esce 4x+4y=0

perchè hai messo $4x+4y=0$? la prima riga esce $x+4y=0$
risolvendo il sistema comunque trovi che un vettore ha la struttura seguente: $(0,0,z)$ e quindi una base è $B={(0,0,1)}$
$lambda = -1$

"JoeBlack22":4x +4y=0
-x-y=0
x+2y+2=0

hai dimenticato una z nell'ultima equazione. comunque devi aver sbagliato a risolvere il sistema, perchè dovrebbe venire $(-y,y,-y/3)$ e quindi una base è....

[JoeBlack22]

"cooper":ti posso aiutare solo sul primo.
a me esce che l'endomorfismo non è diagonalizzabile. (il rango comunque è 2 e non 1). trovo una certa conferma nell'andare a studiare gli autospazi, infatti:
$lambda = 2$
perchè hai messo $4x+4y=0$? la prima riga esce $x+4y=0$
risolvendo il sistema comunque trovi che un vettore ha la struttura seguente: $(0,0,z)$ e quindi una base è $B={(0,0,1)}$
$lambda = -1$

eh ho sbagliato nel trascrivere, ho copiato dalla brutta copia, infatti poi avevo corretto con x=-4y e avevo messo una base (-4,1,0).. Cmq l'errore lho fatto nelo studiare l'autospazio, ora me ne sono accorto.. la prima e la terza riga le ho prese come una il multiplo dell'altra.. Preso dall'esame ho fatto sto errore fesso, mannagia..

"cooper":[quote="JoeBlack22"]4x +4y=0
-x-y=0
x+2y+2=0

hai dimenticato una z nell'ultima equazione. comunque devi aver sbagliato a risolvere il sistema, perchè dovrebbe venire $(-y,y,-y/3)$ e quindi una base è....[/quote]
sisi quella era una z.. non 2 sorry.. però non mi trovo con la tua base.. perchè essendo l'ultima riga x+2y+z dovrebbe uscire la bae (1,-1,1)


Quindi il primo problema ho sbagliato a studiare l'autospazio come il fesso.. aspetto qualcuno per vedere il secondo esercizio

[cooper1]

la terza riga con $lambda = -1$ non è quella che hai scritto tu ma $x+2y+3z=0$

[JoeBlack22]

Giusto un errore di segno.. marò ho fatto un casino coi calcoli, il procedimento però andava bene..

Per il secondo quesito niente? Perchè è quello che ho più dubbi