Esame di geometria
Salve ragazzi volevo chiedere il vostro aiuto per kst domande di geometria!Grazie mille!!
1)Nello spazio vettoriale R^3 si konsiderino i seguenti sottoinsiemi :T{(x, y, z) appartiene R^3| x - y = 0} e S = L{ ( 1, 1, -1), (0, 2, 0), (-2, 1, 2)}; scrivere una base per S intersecato T
2)Il DETERMINANTE di una matrice 3 X 3 puo essere 3?(Se Si dare un esempio, se NO dire perchè)
3)Una matrice 5 X 3 puo possedere 4 righe indipendenti?(se Si dare un esempio, se NO dire perchè)
4)Sia g:R^3->R^2 un applicazione lineare.Sapendo che g (1, 2, 0)=(1,-2) e g (2, 3, 1)=(3,0) determinare g(1,1,1).
1)Nello spazio vettoriale R^3 si konsiderino i seguenti sottoinsiemi :T{(x, y, z) appartiene R^3| x - y = 0} e S = L{ ( 1, 1, -1), (0, 2, 0), (-2, 1, 2)}; scrivere una base per S intersecato T
2)Il DETERMINANTE di una matrice 3 X 3 puo essere 3?(Se Si dare un esempio, se NO dire perchè)
3)Una matrice 5 X 3 puo possedere 4 righe indipendenti?(se Si dare un esempio, se NO dire perchè)
4)Sia g:R^3->R^2 un applicazione lineare.Sapendo che g (1, 2, 0)=(1,-2) e g (2, 3, 1)=(3,0) determinare g(1,1,1).
Risposte
Per la 2 la risposta è SI
l'esempio che mi è venuto al momento è questo $A=((2,0,1),(0,1,0),(1,0,2))$
l'esempio che mi è venuto al momento è questo $A=((2,0,1),(0,1,0),(1,0,2))$
"beppe86":
Per la 2 la risposta è SI
l'esempio che mi è venuto al momento è questo $A=((2,0,1),(0,1,0),(1,0,2))$
grazie tante!mi spieghi kome ti è venuto in mente kst esempio??è a tentativo o c'è una spiegazione teorika?
Ciao!
1. Una base per T può essere ${(1,1,0),(0,0,1)}$. S è generato da quei 3 vettori. Controllo se sono lin. dip. :
$det [(1,1,-1),(0,2,0),(2,1,2)]=0$; sono lin. dip. Allora come base per S prendo ${(0,2,0),(1,1,-1)}$ (sono lin. ind., si verifica, ma si vede anche).
Se metto in una matrice le 2 basi $[(1,1,0),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,-1)]$ osservo che il rango di questa matrice è 3. Allora, dato che chiaramente S+T è generato dall'unione delle basi si S e T, la dimensione di S+T sarà appunto 3.
Per la formula di Grassman, avremo che la dimensione dell'intersezione di S e T sarà $dim(S) + dim(T) - dim(S+T)=2+2-3=1$.
Quindi dovrò trovare un vettore comune a S e T e che sia parte dei loro generatori per avere una base dell'intersezione.
Prendo in esame la base di T e osservo che $(1,1,0) - (0,0,1)=(1,1,-1)$ che è proprio un vettore della base di S. Allora una base per l'intersezione di S e T è ${(1,1,-1)}$.
2. Sì. Un esempio più semplice può essere $[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,3)]$ (ricordando che il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi sulla diagonale..si vede usando la regola di Laplace per calcolare il determinante).
3. No. Se ha 4 righe indipendenti il suo rango è almeno 4. Ma una 5x3 al massimo avrà rango 3.
4. $(1,1,1) = (2,3,1) - (1,2,0)$ (che sono i vettori di cui hai l'immagine rispetto a g).
Allora $g(1,1,1)=g((2,3,1) - (1,2,0))=$(poichè g è lineare) $g(2,3,1) - g(1,2,0)=(3,0) - (1,-2)=(2,2)$
Paola
1. Una base per T può essere ${(1,1,0),(0,0,1)}$. S è generato da quei 3 vettori. Controllo se sono lin. dip. :
$det [(1,1,-1),(0,2,0),(2,1,2)]=0$; sono lin. dip. Allora come base per S prendo ${(0,2,0),(1,1,-1)}$ (sono lin. ind., si verifica, ma si vede anche).
Se metto in una matrice le 2 basi $[(1,1,0),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,-1)]$ osservo che il rango di questa matrice è 3. Allora, dato che chiaramente S+T è generato dall'unione delle basi si S e T, la dimensione di S+T sarà appunto 3.
Per la formula di Grassman, avremo che la dimensione dell'intersezione di S e T sarà $dim(S) + dim(T) - dim(S+T)=2+2-3=1$.
Quindi dovrò trovare un vettore comune a S e T e che sia parte dei loro generatori per avere una base dell'intersezione.
Prendo in esame la base di T e osservo che $(1,1,0) - (0,0,1)=(1,1,-1)$ che è proprio un vettore della base di S. Allora una base per l'intersezione di S e T è ${(1,1,-1)}$.
2. Sì. Un esempio più semplice può essere $[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,3)]$ (ricordando che il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi sulla diagonale..si vede usando la regola di Laplace per calcolare il determinante).
3. No. Se ha 4 righe indipendenti il suo rango è almeno 4. Ma una 5x3 al massimo avrà rango 3.
4. $(1,1,1) = (2,3,1) - (1,2,0)$ (che sono i vettori di cui hai l'immagine rispetto a g).
Allora $g(1,1,1)=g((2,3,1) - (1,2,0))=$(poichè g è lineare) $g(2,3,1) - g(1,2,0)=(3,0) - (1,-2)=(2,2)$
Paola
Aspetta riguardo al punto 3 ho detto una cosa sbagliata. La risposta è NO, ma la motivazione è questa: consideriamo le righe della matrice 5x3 come vettori di $R^3$ è chiaro che non potremmo avere 4 vettori lin. indip. in quanto genererebbero un sottospazio vettoriale di $R^3$ di dimensione 4, ma questo è assurdo perchè un sottospazio in $R^3$ potrebbe avere al massimo dimensione 3=dim($R^3$).
Paola
Paola
Per il primo esercizio:
il generico vettore $t in T $ sarà del tipo $t=(x,x,z) $ Dimensione =2 , infatti 2 variabili libere $x,z $.
Posso scrivere $t$ in forma cartesiana come
$x=x;y=x;z= z $
Per S noto che i vettori sono lin dip ; sono invece lin indip i primi due vettori $(1,1,-1),(0,2,0)$ e quindi il generico vettore $s in S $ sarà , facendo una combinazione lineare dei 2 vettori , del tipo $ s = ( a, a+2b,-a ) $ essendo a, b i coefficienti moltiplicativi per la combinazione lineare .
In forma cartesiana sarà $s = ( x,y, -x ) $ dimensione = 2 cioè:
$x=x,y=y;z=-x$
Per trovare il generico vettore intersezione di S e di T devo mettere a sistema le quazioni di $t,s$ e quidni
$ x=x;y=x;z=z;x=x;y=y;z=-x$ che ha soluzione : $ x=x;y=x;z=-x$ ed il generico vettore appartenenete all'intersezione S,T sarà del tipo $( x,x,-x)$ ed è di dimensione = 1.
Una base è quidni ad esempio : $(1,1,-1)$.
il generico vettore $t in T $ sarà del tipo $t=(x,x,z) $ Dimensione =2 , infatti 2 variabili libere $x,z $.
Posso scrivere $t$ in forma cartesiana come
$x=x;y=x;z= z $
Per S noto che i vettori sono lin dip ; sono invece lin indip i primi due vettori $(1,1,-1),(0,2,0)$ e quindi il generico vettore $s in S $ sarà , facendo una combinazione lineare dei 2 vettori , del tipo $ s = ( a, a+2b,-a ) $ essendo a, b i coefficienti moltiplicativi per la combinazione lineare .
In forma cartesiana sarà $s = ( x,y, -x ) $ dimensione = 2 cioè:
$x=x,y=y;z=-x$
Per trovare il generico vettore intersezione di S e di T devo mettere a sistema le quazioni di $t,s$ e quidni
$ x=x;y=x;z=z;x=x;y=y;z=-x$ che ha soluzione : $ x=x;y=x;z=-x$ ed il generico vettore appartenenete all'intersezione S,T sarà del tipo $( x,x,-x)$ ed è di dimensione = 1.
Una base è quidni ad esempio : $(1,1,-1)$.
"schatz":
[quote="beppe86"]Per la 2 la risposta è SI
l'esempio che mi è venuto al momento è questo $A=((2,0,1),(0,1,0),(1,0,2))$
grazie tante!mi spieghi kome ti è venuto in mente kst esempio??è a tentativo o c'è una spiegazione teorika?[/quote]
In realtà a tentativo, e credo che sia l'unica strada visto che per un eventuale SI il tuo profe vuole solo l'esempio senza motivazioni "teoriche".
A parole dire solamente che è "ovvio" usando, ad esempio, il metodo di Sarrus lavorare, ad esempio, solo sulle due diagonali (in questo caso la diagonale principale ti da 4 e poi sottrai l'1 della secondario) mettendo a zero tutto il resto in maniera che i prodotti "misti" non infuliscano sui conti delle diagonali, ripeto cmq che secondo me non c'è una spiegazione teorica, ma lo lascio confermare da qualcuno più esperto di me eheh
"prime_number":
Ciao!
1. Una base per T può essere ${(1,1,0),(0,0,1)}$. S è generato da quei 3 vettori. Controllo se sono lin. dip. :
$det [(1,1,-1),(0,2,0),(2,1,2)]=0$; sono lin. dip. Allora come base per S prendo ${(0,2,0),(1,1,-1)}$ (sono lin. ind., si verifica, ma si vede anche).
Se metto in una matrice le 2 basi $[(1,1,0),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,-1)]$ osservo che il rango di questa matrice è 3. Allora, dato che chiaramente S+T è generato dall'unione delle basi si S e T, la dimensione di S+T sarà appunto 3.
Per la formula di Grassman, avremo che la dimensione dell'intersezione di S e T sarà $dim(S) + dim(T) - dim(S+T)=2+2-3=1$.
Quindi dovrò trovare un vettore comune a S e T e che sia parte dei loro generatori per avere una base dell'intersezione.
Prendo in esame la base di T e osservo che $(1,1,0) - (0,0,1)=(1,1,-1)$ che è proprio un vettore della base di S. Allora una base per l'intersezione di S e T è ${(1,1,-1)}$.
2. Sì. Un esempio più semplice può essere $[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,3)]$ (ricordando che il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi sulla diagonale..si vede usando la regola di Laplace per calcolare il determinante).
3. No. Se ha 4 righe indipendenti il suo rango è almeno 4. Ma una 5x3 al massimo avrà rango 3.
4. $(1,1,1) = (2,3,1) - (1,2,0)$ (che sono i vettori di cui hai l'immagine rispetto a g).
Allora $g(1,1,1)=g((2,3,1) - (1,2,0))=$(poichè g è lineare) $g(2,3,1) - g(1,2,0)=(3,0) - (1,-2)=(2,2)$
Paola
Grazie mille Paola sei stata chiarissima!
"beppe86":
In realtà a tentativo, e credo che sia l'unica strada visto che per un eventuale SI il tuo profe vuole solo l'esempio senza motivazioni "teoriche".......-D
Scusa ma, tentativo per tentativo, non si poteva dire più semplicemente:
$A=((3,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
ciao
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