Esame
Buonasera a tutti!!!
Oggi avevo l'esame di Algebra Lineare e questo che metto sotto è il testo di due parti del mio compito...
Qualcuno mi potrebbe dare una mano a risolverlo??
Grazie...
Oggi avevo l'esame di Algebra Lineare e questo che metto sotto è il testo di due parti del mio compito...
Qualcuno mi potrebbe dare una mano a risolverlo??
Grazie...
Risposte
Sono venute male le foto...
Cerco di riassumere:
1° Immagine:
Sia V=V3(R) e sia phi: VxV->R la forma bilineare definita come segue: Phi(X,Y)=Xtrasposta*A*Y dove A=B+Btrasposta e
B=(1,-1,0)
(0,1,-1)
(0,1,1)
Domande:
1)Calcolate la matrice A;
2)E' vero che Phi è un prodotto scalare?
3)Calcolate gli autovalori di A
4)La matrice A è diagonalizzabile?
5)Descrivete i seguenti insiemi:
- [X| Phi(X,X)=0]
-[X| Phi(X,X)>=0]
-[X| Phi(X,X)=1]
6)In generale, di che proprietà deve godere una matrice M affinchè la forma bilineare definita dalla clausola Phi(X,Y)=Xtrasposta*M*Y sia un prodotto scalare?
Cerco di riassumere:
1° Immagine:
Sia V=V3(R) e sia phi: VxV->R la forma bilineare definita come segue: Phi(X,Y)=Xtrasposta*A*Y dove A=B+Btrasposta e
B=(1,-1,0)
(0,1,-1)
(0,1,1)
Domande:
1)Calcolate la matrice A;
2)E' vero che Phi è un prodotto scalare?
3)Calcolate gli autovalori di A
4)La matrice A è diagonalizzabile?
5)Descrivete i seguenti insiemi:
- [X| Phi(X,X)=0]
-[X| Phi(X,X)>=0]
-[X| Phi(X,X)=1]
6)In generale, di che proprietà deve godere una matrice M affinchè la forma bilineare definita dalla clausola Phi(X,Y)=Xtrasposta*M*Y sia un prodotto scalare?
2° Immagine:
Sia V=V4(R) e X il seguente sottoinsieme di V:
X=[(r+s,s+t,r-t,r-s+t)]
Domande:
1)E' vero che X=L(X)?
2)Indicate una rappresentazione cartesiana di L(X).
3) Descrivete il sottospazio lineare X ortogonale.
4) Indicate una base ortogonale di L(X)
5)Se B è la base di L(X) che avete fornito in risposta alla domanda precedente, indicate quali vettori aggiungereste all'insieme B per ottenere una base di V, non importa se ortogonale o no.
6) Supponete che nella domanda precedente vi fosse stato chiesto di scegliere i vettori da aggiungere a B in modo da ottenere una base ortogonale di V. In tal caso, i vettori che fornireste dipenderebbero dalla scelta di B?
7)Calcolate dim(L(X)) e codimensione di L(X)!!!
Grazie a tutti quelli che risponderanno!!!
Sia V=V4(R) e X il seguente sottoinsieme di V:
X=[(r+s,s+t,r-t,r-s+t)]
Domande:
1)E' vero che X=L(X)?
2)Indicate una rappresentazione cartesiana di L(X).
3) Descrivete il sottospazio lineare X ortogonale.
4) Indicate una base ortogonale di L(X)
5)Se B è la base di L(X) che avete fornito in risposta alla domanda precedente, indicate quali vettori aggiungereste all'insieme B per ottenere una base di V, non importa se ortogonale o no.
6) Supponete che nella domanda precedente vi fosse stato chiesto di scegliere i vettori da aggiungere a B in modo da ottenere una base ortogonale di V. In tal caso, i vettori che fornireste dipenderebbero dalla scelta di B?
7)Calcolate dim(L(X)) e codimensione di L(X)!!!
Grazie a tutti quelli che risponderanno!!!
Prima di tutto 4 cose:
[list=1] [*:3jhk3y6h] Benvenuto/a,[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Ti suggerisco di leggere come si scrivono le formule e impararle al più presto. In generale basta mettere le formule come già le scrivi fra $$$ (il simbolo di dollaro). Oppure puoi scrivere il latex.[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Dovresti, come da regolamento, dire cosa hai fatto tu e che problemi hai riscontrato.[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Siccome non si leggono le immagini potresti gentilmente modificare il messaggio ed eliminarle del tutto? [/*:m:3jhk3y6h][/list:o:3jhk3y6h]
Veniamo ora ai problemi d'esame. Se leggo bene il loro testo è:
A questo punto vediamo di analizzare un po' l'esame.
[list=1][*:3jhk3y6h]Il calcolo della matrice \(A\) è immediato e non penso richieda spiegazioni.[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Cos'é un prodotto scalare? Si tratta solo di controllare che le richieste siano soddisfatte per vettori qualsiasi.[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Immagino dovresti sapere come calcolare gli autovalori, prova a mostrarci i passaggi.[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Tanto per incominciare \(A\) è simmetrica, infatti \(a_{ij} = b_{ij} + b_{ji}\). Da qui direi che la strada è semplice. In ogni caso a questo punto dovresti conoscerne gli autovalori. C'é qualcosa che ti blocca?[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Qui devi solo fare i calcoli. Qualche problema in questo punto?[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Qui devi tradurre le formule generiche in formule per le matrici. Penso sia utile pensarci da solo, eventualmente ti correggiamo.
[/*:m:3jhk3y6h][/list:o:3jhk3y6h]
Il secondo lo vedo dopo.
[list=1] [*:3jhk3y6h] Benvenuto/a,[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Ti suggerisco di leggere come si scrivono le formule e impararle al più presto. In generale basta mettere le formule come già le scrivi fra $$$ (il simbolo di dollaro). Oppure puoi scrivere il latex.[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Dovresti, come da regolamento, dire cosa hai fatto tu e che problemi hai riscontrato.[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Siccome non si leggono le immagini potresti gentilmente modificare il messaggio ed eliminarle del tutto? [/*:m:3jhk3y6h][/list:o:3jhk3y6h]
Veniamo ora ai problemi d'esame. Se leggo bene il loro testo è:
"cp3":
Sia \(V = V_3(\mathbb{R})\) e sia \( \Phi \colon V\times V->\mathbb{R}\) la forma bilineare definita come segue: \(\Phi(X,Y) = X^t AY\) dove \(A = B + B^t\) e
\(\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)
Domande:[list=]
[list=1]
[*:3jhk3y6h]Calcolate la matrice \(A\);[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h]E' vero che \(\Phi\) è un prodotto scalare?[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h]Calcolate gli autovalori di \(A\)[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h]La matrice \(A\) è diagonalizzabile?[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h]Descrivete i seguenti insiemi:
[*:3jhk3y6h]\(\displaystyle \{ x\in V \mid \Phi(x,x) = 0 \}\),[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h]\(\displaystyle \{ x\in V \mid \Phi(x,x) \ge 0 \}\),[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h]\(\displaystyle \{ x\in V \mid \Phi(x,x) = 1 \}\).[/*:m:3jhk3y6h][/list:u:3jhk3y6h][/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h]In generale, di che proprietà deve godere una matrice \(M\) affinchè la forma bilineare definita dalla clausola \(\Phi(X,Y)=X^t MY\) sia un prodotto scalare?[/*:m:3jhk3y6h][/list:o:3jhk3y6h]
A questo punto vediamo di analizzare un po' l'esame.
[list=1][*:3jhk3y6h]Il calcolo della matrice \(A\) è immediato e non penso richieda spiegazioni.[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Cos'é un prodotto scalare? Si tratta solo di controllare che le richieste siano soddisfatte per vettori qualsiasi.[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Immagino dovresti sapere come calcolare gli autovalori, prova a mostrarci i passaggi.[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Tanto per incominciare \(A\) è simmetrica, infatti \(a_{ij} = b_{ij} + b_{ji}\). Da qui direi che la strada è semplice. In ogni caso a questo punto dovresti conoscerne gli autovalori. C'é qualcosa che ti blocca?[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Qui devi solo fare i calcoli. Qualche problema in questo punto?[/*:m:3jhk3y6h]
[*:3jhk3y6h] Qui devi tradurre le formule generiche in formule per le matrici. Penso sia utile pensarci da solo, eventualmente ti correggiamo.
[/*:m:3jhk3y6h][/list:o:3jhk3y6h]
Il secondo lo vedo dopo.
1. Per il calcolo della matrice non ci dovrebbero essere problemi e mi viene A:
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
3. Per calcolare gli autovalori ho trovato il polinomio caratteristico della matrice A e come autovalori ho trovato:
1, 2 e 3
4. Poi ho scritto che la matrice A è diagonalizzabile perchè le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti.
Per gli altri punti ho il buio assoluto..
Te ne sarei grato tu mi mostrassi anche i passaggi, grazie!!!
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
3. Per calcolare gli autovalori ho trovato il polinomio caratteristico della matrice A e come autovalori ho trovato:
1, 2 e 3
4. Poi ho scritto che la matrice A è diagonalizzabile perchè le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti.
Per gli altri punti ho il buio assoluto..
Te ne sarei grato tu mi mostrassi anche i passaggi, grazie!!!
UP
Una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile (per il teorema spettrale in dimensione finita), ma in questo caso è meglio fare tutti i calcoli. La matrice \(A\) e gli autovalori sono corretti (ho usato walfram alpha per controllare gli autovalori).
Vediamo come si fa il quinto punto.
Per qualsiasi matrice \(M\) di dimensione \(n\times n\), \(\displaystyle x^tMx = \sum_{i=1}^n m_{ii}\xi_i^2 + \sum_{i=2}^n \sum_{j
Solo per curiosità \(x^tMx = \langle x^tM, x\rangle\) dove \(\langle \bullet, \bullet \rangle\) è il prodotto scalare standard in \(\mathbb{R}^n\). Anche questa dimostrazione è banale una volta osservato che \(\langle x, y \rangle = x^ty\).
Detto questo devi risolvere \(x^tAx = 0\), \(x^tAx \ge 0\) e \(x^tAx = 1\). Vediamo qualche calcolo:
\(x^tAx = 2(\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2) -2\xi_1\xi_2 = 2( \xi_1^2 + \xi_2^2 -\xi_1\xi_2 + \xi_3 ) = 2(\xi_1 - \xi_2)^2 +2\xi_1\xi_2 + 2\xi_3^2\)
Notiamo che \(\xi_3^2 \ge 0\) per ogni \(\xi_3\). Inoltre \(\xi_1\xi_2 > 0\) quando \(\xi_1\) e \(\xi_2\) hanno lo stesso segno. Quindi in questi casi si ha che \(x^tAx\ge 0\). Se \(\xi_1\) e \(\xi_2\) hanno segno opposto allora \(\lvert\xi_1 - \xi_2\rvert \ge \max\bigl(\lvert\xi_1\rvert, \lvert\xi_1\rvert\bigr)\), pertanto \(\lvert\xi_1 - \xi_2\rvert^2 \ge \max\bigl(\lvert\xi_1\rvert, \lvert\xi_1\rvert\bigr)^2\ge \xi_1\xi_2\). Se ne decuce che \(\phi(x,x)\ge 0\) per ogni \(x\) ed è uguale a \(0\) solo per \(x = 0\)
Per il caso \(\Phi(x,x) = 1\) i calcoli si complicano un po'. D'altra parte ci vengono in aiuto le diagonalizzazioni.
Mi auguro che tu abbia calcolato una matrice ortogonale \(Q\) tale che \(QAQ^{-1} = QAQ^t = D\) con \(D\) diagonale. A questo punto tu hai che \(x^tAx = (Qx)^tD(Qx)\). Se ora tu chiami \(y = Qx\) allora tu devi calcolare \(y^tDy = 0\), \(y^tDy \ge 0\) e \(y^tDy = 1\).
Siccome \(y^tDy = \gamma_1^2 + 2\gamma_2^2 + 3\gamma_3^2\), \(y^tDy = 1\) è un elissoide. Non ti rimane che vederne la sua controimmagine tramite \(Q\) (che continuerà ad essere un elissoide).
P.S.: Potevi usare le diagonalizzazioni sin dall'inizio.
Vediamo come si fa il quinto punto.
Per qualsiasi matrice \(M\) di dimensione \(n\times n\), \(\displaystyle x^tMx = \sum_{i=1}^n m_{ii}\xi_i^2 + \sum_{i=2}^n \sum_{j
Solo per curiosità \(x^tMx = \langle x^tM, x\rangle\) dove \(\langle \bullet, \bullet \rangle\) è il prodotto scalare standard in \(\mathbb{R}^n\). Anche questa dimostrazione è banale una volta osservato che \(\langle x, y \rangle = x^ty\).
Detto questo devi risolvere \(x^tAx = 0\), \(x^tAx \ge 0\) e \(x^tAx = 1\). Vediamo qualche calcolo:
\(x^tAx = 2(\xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2) -2\xi_1\xi_2 = 2( \xi_1^2 + \xi_2^2 -\xi_1\xi_2 + \xi_3 ) = 2(\xi_1 - \xi_2)^2 +2\xi_1\xi_2 + 2\xi_3^2\)
Notiamo che \(\xi_3^2 \ge 0\) per ogni \(\xi_3\). Inoltre \(\xi_1\xi_2 > 0\) quando \(\xi_1\) e \(\xi_2\) hanno lo stesso segno. Quindi in questi casi si ha che \(x^tAx\ge 0\). Se \(\xi_1\) e \(\xi_2\) hanno segno opposto allora \(\lvert\xi_1 - \xi_2\rvert \ge \max\bigl(\lvert\xi_1\rvert, \lvert\xi_1\rvert\bigr)\), pertanto \(\lvert\xi_1 - \xi_2\rvert^2 \ge \max\bigl(\lvert\xi_1\rvert, \lvert\xi_1\rvert\bigr)^2\ge \xi_1\xi_2\). Se ne decuce che \(\phi(x,x)\ge 0\) per ogni \(x\) ed è uguale a \(0\) solo per \(x = 0\)
Per il caso \(\Phi(x,x) = 1\) i calcoli si complicano un po'. D'altra parte ci vengono in aiuto le diagonalizzazioni.
Mi auguro che tu abbia calcolato una matrice ortogonale \(Q\) tale che \(QAQ^{-1} = QAQ^t = D\) con \(D\) diagonale. A questo punto tu hai che \(x^tAx = (Qx)^tD(Qx)\). Se ora tu chiami \(y = Qx\) allora tu devi calcolare \(y^tDy = 0\), \(y^tDy \ge 0\) e \(y^tDy = 1\).
Siccome \(y^tDy = \gamma_1^2 + 2\gamma_2^2 + 3\gamma_3^2\), \(y^tDy = 1\) è un elissoide. Non ti rimane che vederne la sua controimmagine tramite \(Q\) (che continuerà ad essere un elissoide).
P.S.: Potevi usare le diagonalizzazioni sin dall'inizio.
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