Es gruppi topologici
Ho un gruppo topologico G e un suo sottogruppo discreto N (per ogni n in N esiste U intorno aperto di n tale che $U nn N = \{n\}$).
Devo dimostrare che se N è normale ($gng^{-1}\in N$ per ogni n in N e g in G) allora N è centrale ($ng=gn$ per ogni n in N e g in G).
L'unica cosa che sono riuscito ad osservare è che, fissati n in N e g in G, mi è sufficiente far vedere che $gng^{-1}\in U$.
Ma non so come fare..
Devo dimostrare che se N è normale ($gng^{-1}\in N$ per ogni n in N e g in G) allora N è centrale ($ng=gn$ per ogni n in N e g in G).
L'unica cosa che sono riuscito ad osservare è che, fissati n in N e g in G, mi è sufficiente far vedere che $gng^{-1}\in U$.
Ma non so come fare..
Risposte
Sicuro del testo? Se quello che dici fosse vero allora (siccome ogni gruppo è un gruppo topologico se gli metti la topologia discreta) otterresti questo fatto: dato un qualunque gruppo, ogni suo sottogruppo normale è centrale. Ma questo è falso.
Era un esercizio del compito di topologia. Quindi era sbagliata la richiesta? Ma bene! Ti ringrazio
Mi puoi dare un controesempio di sottogruppo discreto normale ma non centrale?
Mi puoi dare un controesempio di sottogruppo discreto normale ma non centrale?
Forse abbiamo definizioni diverse di gruppo topologico.
Per me un gruppo topologico è un gruppo $G$ dotato di una topologia che rende il prodotto $G xx G to G$ e il passaggio all'inverso $G to G$ delle funzioni continue. E' chiaro che la topologia discreta verifica queste richieste (osserva che se $G$ è discreto anche $G xx G$ è discreto con la topologia prodotto).
Quindi un qualunque gruppo $G$ dotato della topologia discreta è un gruppo topologico, e ovviamente ogni suo sottogruppo normale è discreto (essendo $G$ stesso discreto).
Se prendi per esempio il gruppo $S_3$ delle permutazioni di tre oggetti, il sottogruppo $N$ generato da $(123)$ ha indice $2$ quindi è normale, e non è centrale perché per esempio $(12)(123)=(23)$ e $(123)(12)=(13)$ sono diversi.
Sicuro che non ci fosse qualche altra ipotesi?
Per me un gruppo topologico è un gruppo $G$ dotato di una topologia che rende il prodotto $G xx G to G$ e il passaggio all'inverso $G to G$ delle funzioni continue. E' chiaro che la topologia discreta verifica queste richieste (osserva che se $G$ è discreto anche $G xx G$ è discreto con la topologia prodotto).
Quindi un qualunque gruppo $G$ dotato della topologia discreta è un gruppo topologico, e ovviamente ogni suo sottogruppo normale è discreto (essendo $G$ stesso discreto).
Se prendi per esempio il gruppo $S_3$ delle permutazioni di tre oggetti, il sottogruppo $N$ generato da $(123)$ ha indice $2$ quindi è normale, e non è centrale perché per esempio $(12)(123)=(23)$ e $(123)(12)=(13)$ sono diversi.
Sicuro che non ci fosse qualche altra ipotesi?
Ho il testo sotto, l'ho riletto 3 volte ed è proprio così. Anche la definizione di gruppo topologico è la stessa.
Il tuo ragionamento mi sembra non faccia una piega. Quindi mi sa che è la prof che si è sbagliata (non è così improbabile..)
Domani comunque ho l'orale, vedremo cosa voleva dire!
Il tuo ragionamento mi sembra non faccia una piega. Quindi mi sa che è la prof che si è sbagliata (non è così improbabile..)
Domani comunque ho l'orale, vedremo cosa voleva dire!
Ok facci sapere!
non è che magari il gruppo è connesso?
Ho dato l'orale ed è andato bene! Per fortuna non mi ha chiesto quell'esercizio...
Comunque nel testo originale del compito lo spazio è connesso (mentre nel testo che aveva messo su internet non l'aveva scritto).
Con questa ipotesi conoscete la dim? Ci sono dei miei amici che devono ancora dare l'esame...
Comunque nel testo originale del compito lo spazio è connesso (mentre nel testo che aveva messo su internet non l'aveva scritto).
Con questa ipotesi conoscete la dim? Ci sono dei miei amici che devono ancora dare l'esame...
beh prova a dimostrare che fissato $n$, l'insieme $A_n={g in G|gn=ng}$ è non vuoto ed è aperto e chiuso in $G$
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