Errore nella parametrizzazione delle coniche
Dato un fascio di coniche parametrizzato da due coniche generatrici $C_1$ e $C_2$ al $[lambda,delta] in P(CC)$, cioè: $C_[lambda,delta] = lambdaC_1 + deltaC_2$. Si da inoltre una proiettività $f: P^2(CC) -> P^2(CC)$ tale che $f(C_1)=C_1$ e $f(C_2)=C_3$, con $C_3$ una terza conica del fascio. Devo trovare quali coniche vengono lasciate fisse dalla proiettività.
Io ho detto: $f(C_[lambda,delta]) = (1) f(lambdaC_1 + deltaC_2) = (2) f(lambdaC_1) + f(deltaC_2) =$
$= (3) lambdaC_1 + deltaC_3 -> lambdaC_1 + deltaC_2 = (4) lambdaC_1 + deltaC_3 -> C_2 = (5) C_3$ e dunque assurdo, cioè l'unica lasciata fissa dal fascio è $C_1$.
Lasciando stare l'esercizio in sè (la proiettività era nota, per trovare le coniche fisse si poteva restringere $f$ al fascio di coniche e studiare la matrice nel $P^1$ trovando la forma di Jordan, però se siete interessati posto testo e soluzione per intero
), so che ho sbagliato la gestione dei parametri. Ho numerato le uguaglianze per capire qual è quella incriminata. Ho giustificato quella catena usando sempre la linearità di $alphaphi$, l'isomorfismo lineare da cui deriva $f$ (cioè $alpha$ è uno scalare e $phi: CC^3 -> CC^3$, in quanto $f$ definisce una famiglia di isomorfismi).
Io ho detto: $f(C_[lambda,delta]) = (1) f(lambdaC_1 + deltaC_2) = (2) f(lambdaC_1) + f(deltaC_2) =$
$= (3) lambdaC_1 + deltaC_3 -> lambdaC_1 + deltaC_2 = (4) lambdaC_1 + deltaC_3 -> C_2 = (5) C_3$ e dunque assurdo, cioè l'unica lasciata fissa dal fascio è $C_1$.
Lasciando stare l'esercizio in sè (la proiettività era nota, per trovare le coniche fisse si poteva restringere $f$ al fascio di coniche e studiare la matrice nel $P^1$ trovando la forma di Jordan, però se siete interessati posto testo e soluzione per intero
), so che ho sbagliato la gestione dei parametri. Ho numerato le uguaglianze per capire qual è quella incriminata. Ho giustificato quella catena usando sempre la linearità di $alphaphi$, l'isomorfismo lineare da cui deriva $f$ (cioè $alpha$ è uno scalare e $phi: CC^3 -> CC^3$, in quanto $f$ definisce una famiglia di isomorfismi).
Risposte
Nessuno mi sa dire dove ho sbagliato?
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