Errore durante diagonalizzazione matrice

[manuelferrara1]

Buongiorno!!
Faccio errori in praticamente TUTTI gli esercizi di diagonalizzazione di una matrice. La cosa bella è che non capisco DOVE sbaglio!

Vi posto qui un esercizio da me svolto sperando in una vostra correzione e spiegazione dell'errore generale.
Diagonalizzare
$ A= $
$(1.2.0)$
$(0.3.0)$
$(2.(-4).2)$

(Ho usato il punto per dividere gli elementi dato che me li metteva tutti attaccati)

Io inizio con il fare det(A-λI), ottenendo questi 3 autovalori: 1,2,3. (Che sono corretti).
Sono tutti distinti e regolari quindi la matrice è diagonalizzabile.

Procedo ora con il determinare gli autovettori per ogni autovalore per arrivare a definire una base di autovettori che mi servirà poi per diagonalizzare la matrice.

Per $λ=1$ mi riduco al seguente sistema:

$ {y=0 $
$ {2x- 4y+ z=0 $
ed infine
${y=0 $
${z=-2x $

da questo ho trovato l'autovettore: $[x.0.(-2x)]=x[1.0.(-2)]$

Per $λ=2$ mi riduco al seguente sistema:

$ {-x+2y=0 $
$ {y=0$
$ {2x-4y=0$
ed infine
$ {-x=0$
$ {2x=0$
$ {y=0$

da questo ho trovato l'autovettore: $[0.0.z]=z[0.0.1]$

Per $λ=3$ mi riduco al seguente sistema:
$ {-2x+2y=0$
$ {2x-4y-z=0$
ed infine
$ {y=x$
$ {-2x-z=0$

da questo ho trovato l'autovettore: $[x.x.(-2x)]=z[1.1.-2]$

Scrivo a questo punto la base di autovettori unendo gli autovettori trovati:
$(1.0.1)$
$(0.0.1)$
$(-2.1.-2)$

Questa base la chiamo $P$. So che $P^(-1)*A*P=D$
$P^(-1)$ è:

$(1.-1.0)$
$(2.0.1)$
$(0.1.0)$
(E so che questa inversa è giusta perchè l'ho controllata utilizzando un programma online)

A questo punto però facendo il calcolo $P^(-1)*A*P$ ottengo che la matrice $D$ è: (il calcolo l'ho controllato con un programma online ed è corretto, quindi mi vien da pensare di sbagliare a calcolare gli autovettori)
$(1.2.0)$
$(0.3.0)$
$(2.-4.2)$

Quando invece dovrei avere una matrice diagonale con i soli autovalori!!!!!!!!
Dove cavolo sbaglio??? Mi potreste spiegare in generale come non fare più questo errore e spiegarmi come fare giusto??

GRAZIE INFINITE

[Sk_Anonymous]

"manuelferrara":
A questo punto però facendo il calcolo $P^(-1)*A*P$ ottengo che la matrice $D$ è: (il calcolo l'ho controllato con un programma online ed è corretto, quindi mi vien da pensare di sbagliare a calcolare gli autovettori)
$(1.2.0)$
$(0.3.0)$
$(2.-4.2)$
[...]

Ma come fai ad ottenere la matrice di partenza? A me il conto viene giusto: \[D=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]
Plausibilmente il tuo programma online ha calcolato \(PDP^{-1}\)

[manuelferrara1]

Grazie mille Delirium!
Mi sono reso conto di aver fatto uno stupidissimo errore... in pratica ogni volta moltiplicavo prima $P*A$ e solo dopo per $P^(-1)$
Grazie davvero!!!