Equivalenza topologica di due metriche
Buonasera e scusate la domanda sciocca.. ma sono agli inizi e non riesco a districarmi con gli esercizi. Provo ad illustrarvi il problema..
Ho due metriche su R^n
1) $d' (x,y) = \sum|x_i - y_i|$
2) La metrica euclidea standard , quindi data da $d(x,y) = \sqrt (\sum(x_i-y_i)^2)$
Dovrei dimostrare che sono topologicamente equivalenti....
So che due metriche topologie equivalenti se ogni aperto di una topologia appartiene anche all'altra e viceversa...
Ma so anche che affinchè le due metriche inducano due topologie equivalenti devono esistere due costanti positive $C$ e $C'$ tali che $C d(x,y) \leq d'(x,y) \leq C' d(x,y)$ ....
Adesso non riesco applicando questa suddetta proposizione a trovare le costanti... Mi date una mano ?
L'idea sarebbe quella di trovare i valori delle costanti $C$ e $C'$ per cui valga $C d(x,y) \leq d'(x,y) \leq C' d(x,y)$ andando ad inserire le metriche date...
Quindi ad esempio dovrei dimostrare che esiste C tale che $C \sqrt (\sum(x_i-y_i)^2) \leq \sum(|x_i - y_i|)$ ma svolgendo i calcoli non riesco a trovare la costante C .... Perchè non saprei che calcoli fare..
Da dove comincio?
Grazie a tutti
Ho due metriche su R^n
1) $d' (x,y) = \sum|x_i - y_i|$
2) La metrica euclidea standard , quindi data da $d(x,y) = \sqrt (\sum(x_i-y_i)^2)$
Dovrei dimostrare che sono topologicamente equivalenti....
So che due metriche topologie equivalenti se ogni aperto di una topologia appartiene anche all'altra e viceversa...
Ma so anche che affinchè le due metriche inducano due topologie equivalenti devono esistere due costanti positive $C$ e $C'$ tali che $C d(x,y) \leq d'(x,y) \leq C' d(x,y)$ ....
Adesso non riesco applicando questa suddetta proposizione a trovare le costanti... Mi date una mano ?
L'idea sarebbe quella di trovare i valori delle costanti $C$ e $C'$ per cui valga $C d(x,y) \leq d'(x,y) \leq C' d(x,y)$ andando ad inserire le metriche date...
Quindi ad esempio dovrei dimostrare che esiste C tale che $C \sqrt (\sum(x_i-y_i)^2) \leq \sum(|x_i - y_i|)$ ma svolgendo i calcoli non riesco a trovare la costante C .... Perchè non saprei che calcoli fare..
Da dove comincio? Grazie a tutti
Risposte
Hint 1: prova che se $a_1,\ldots,a_n$ sono numeri reali nonnegativi, allora $\sqrt{\sum a_i^2}\leq \sum a_i$, svolgendo il quadrato opportuno.
Hint 2: vedi qui
Hint 2: vedi qui
Grazie.. ma comunque non riesco ad andare oltre...
$\sum |x_i - y_i| \leq C \sqrt (\sum (x_i - y_i)^2) \leq C \sqrt(2) \sqrt (\sum (x_i - y_i)^2) $ ..... Il risultato dovrebbe tornare $\sqrt (2)$ ma non riesco a capire come si possa ottenere... Mi dai una mano?
$\sum |x_i - y_i| \leq C \sqrt (\sum (x_i - y_i)^2) \leq C \sqrt(2) \sqrt (\sum (x_i - y_i)^2) $ ..... Il risultato dovrebbe tornare $\sqrt (2)$ ma non riesco a capire come si possa ottenere... Mi dai una mano?
Pensavo di elevare tutto al quadrato ma ... non è una buona idea credo..
https://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space#Definition
Quella che nel link viene chiamata "rectilinear distance" è la metrica di Manhattan o del Taxi ed è la tua $d'$
@Hydro Da statistico, mi piace molto che tu abbia fornito l'interpretazione che mi ha "cresciuto"
Quella che nel link viene chiamata "rectilinear distance" è la metrica di Manhattan o del Taxi ed è la tua $d'$
@Hydro Da statistico, mi piace molto che tu abbia fornito l'interpretazione che mi ha "cresciuto"
"Desirio":
So che due metriche topologie equivalenti se ogni aperto di una topologia appartiene anche all'altra e viceversa...
Ma so anche che affinchè le due metriche inducano due topologie equivalenti devono esistere due costanti positive $C$ e $C'$ tali che $C d(x,y) \leq d'(x,y) \leq C' d(x,y)$ ....
Ricorda che questo non è vero, è una condizione sufficiente, non necessaria.
Grazie mille a tutti !
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