Equivalenza sistema di intorni
Ciao, amici! Per verificare che la topologia indotta dalla topologia \(\ast\)-debole nella sfera unitaria \(S^{\ast}=\{f\in E^{\ast}:\|f\|\leq 1\}\) dello spazio duale di uno spazio normato separabile è metrizzabile, il mio testo procede con il verificare che i sistemi fondamentali di intorni dello 0 delle due topologie siano equivalenti, come si legge nel link, con la precauzione di notare che nella traduzione inglese c'è un errore di stampa: la condizione (2) deve leggersi, in conformità con la traduzione italiana ed il originale testo russo (p. 201 qui), every weak neighborhood of zero in \(E^{\ast}\) contains the intersection of \(S^{\ast}\) with some $Q_{\epsilon}$.
Ora, è palese che la distanza \(\rho(f,f_0)\) è invariante per traslazioni, ma come può bastare questo a garantirmi che traslando per esempio la sfera $Q_\epsilon$ per ottenere la sfera, intorno di $f_0$, $Q_\epsilon+f_0$ troverò ancora un intorno debole della forma \(U_{x_1,...,x_N;\delta}+f_0\) tale che \((U_{x_1,...,x_N;\delta}+f_0)\cap S^{\ast}\subset Q_{\varepsilon}+f_0 \) e, analogamente, che ogni intorno debole di forma \(U_{y_1,...,y_m;\delta}+f_0\) contenga un intorno di $f_0$ in \(S^{\ast}\) di forma \((Q_{\varepsilon}+f_0)\cap S^{\ast}\)?
Ho verificato con opportune quasi immediate modifiche che il teorema vale anche sostituendo $f-f_0$ a $f$, ma non riesco comunque a capire perché il testo dica che è sufficiente verificare le due condizioni (1) e (2)...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Ora, è palese che la distanza \(\rho(f,f_0)\) è invariante per traslazioni, ma come può bastare questo a garantirmi che traslando per esempio la sfera $Q_\epsilon$ per ottenere la sfera, intorno di $f_0$, $Q_\epsilon+f_0$ troverò ancora un intorno debole della forma \(U_{x_1,...,x_N;\delta}+f_0\) tale che \((U_{x_1,...,x_N;\delta}+f_0)\cap S^{\ast}\subset Q_{\varepsilon}+f_0 \) e, analogamente, che ogni intorno debole di forma \(U_{y_1,...,y_m;\delta}+f_0\) contenga un intorno di $f_0$ in \(S^{\ast}\) di forma \((Q_{\varepsilon}+f_0)\cap S^{\ast}\)?
Ho verificato con opportune quasi immediate modifiche che il teorema vale anche sostituendo $f-f_0$ a $f$, ma non riesco comunque a capire perché il testo dica che è sufficiente verificare le due condizioni (1) e (2)...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Ciao! Se non ho capito male, il tuo problema è che non sei convinto che sia sufficiente verificare l'equivalenza degli intorni solo nell'origine. Il fatto è che uno spazio vettoriale topologico è uno spazio lineare munito di una topologia CHE SIA COMPATIBILE CON LE OPERAZIONI ALGEBRICHE DELLO SPAZIO, ovvero una topologia fatta in modo che le operazioni di somma tra vettori e di moltiplicazione per scalari risultino continue. Si dimostra che dato uno spazio lineare $E$, la topologia debole-* rende lo spazio $E$* uno spazio lineare topologico. A questo punto, sapendo che la somma è una funzione continua (e dunque anche le traslazioni lo sono, anzi, sono omeomorfismi), è facile dimostrare che il traslato in un aperto è ancora un aperto.
$\infty$ grazie!!!
Sì, so che traslando di $y_0-x_0$ un intorno di $x_0$ si ottiene un intorno di $y_0$, ma qui, trattandosi di un sottospazio topologico di uno spazio topologico vettoriale, non mi riesco a convincere della cosa... Perché ogni intorno debole di forma \( U_{y_1,...,y_m;\delta}+f_0 \) è certo che contenga un intorno di $ f_0 $ in \( S^{\ast} \) di forma \( (Q_{\varepsilon}+f_0)\cap S^{\ast} \)? Ovviamente se \( Q_{\varepsilon}\cap S^{\ast}\subset U_{y_1,...,y_m;\delta}\) allora \( (Q_{\varepsilon}+f_0)\cap (S^{\ast}+f_0)\subset U_{y_1,...,y_m;\delta}+f_0\), ma qui non trasliamo \(S^{\ast}\)...
Sì, so che traslando di $y_0-x_0$ un intorno di $x_0$ si ottiene un intorno di $y_0$, ma qui, trattandosi di un sottospazio topologico di uno spazio topologico vettoriale, non mi riesco a convincere della cosa... Perché ogni intorno debole di forma \( U_{y_1,...,y_m;\delta}+f_0 \) è certo che contenga un intorno di $ f_0 $ in \( S^{\ast} \) di forma \( (Q_{\varepsilon}+f_0)\cap S^{\ast} \)? Ovviamente se \( Q_{\varepsilon}\cap S^{\ast}\subset U_{y_1,...,y_m;\delta}\) allora \( (Q_{\varepsilon}+f_0)\cap (S^{\ast}+f_0)\subset U_{y_1,...,y_m;\delta}+f_0\), ma qui non trasliamo \(S^{\ast}\)...
In effetti neanche a me sembra tanto ovvio come invece vuol far credere il libro...
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