Equivalenza omotopica tra spazi topologici

[isabellabonbon]

Salve!
Mi sto preparando per l'esame di Geometria 2 ma sto avendo parecchie difficoltà nella risoluzione di esercizi sull'equivalenza omotopica!
Ad esempio, nello scorso appello è stato proposto questo esercizio:
"Dire quali tra questi spazi topologici (con la topologia eculidea) sono tra loro omotopicamente equivalenti, motivando la risposta:
A = R3 \ {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <1}
B = R2 \ {(x,y) | x^2 + y^2 < 1}
C = R3 \ {(x,y,z) | x=y=0}
D = R3 \ {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 =1}"

Io so che due spazi topologici omotopicamente equivalenti hanno stesspo gruppo fondamentale, se due spazi topologici sono omeomorfi sono anche in equivalenza omotopica e che se di due spazi topologici omotopicamente equivalenti il primo è connesso per archi allora lo è anche il secondo.
Ma come posso applicare queste proposizioni??
Vi ringrazio in anticipo!

[killing_buddha]

"Isabella.cn":Io so che due spazi topologici omotopicamente equivalenti hanno stesspo gruppo fondamentale

No, è sbagliato osserva con più attenzione la definizione.

Fai dei disegni di $A,B,C,D$, poi decidi ad occhio se esiste una deformazione di uno nell'altro, e formalizza questa intuizione definendo delle funzioni che realizzano l'equivalenza omotopica. Questi esercizi si fanno tutti così.

Per esempio, $A$ è $RR^3$ a cui hai rimosso una palla aperta di raggio 1, mentre $B$ è $RR^2$ a cui hai rimosso una analoga palla aperta... Può esistere un'equivalenza omotopica tra i due? Se sì, come deve essere fatta? Per quale motivo questa domanda è analoga a dire se esiste una equivalenza omotopica tra le sfere $S^1$ ed $S^2$? E quest'ultima esiste o no? Se no, perché?