Equivalenza di C. T. Yang chiusura insiemi A'
Sul libro General Topology di John Kelley a pagina 56 nell'esercizio D punto c veniva chiesto di dimostrare che in uno spazio $T_1$ l'insieme dei punti di accumulazione di un qualsiasi insieme è chiuso, subito dopo viene detto "A sharper result (C. T. Yang): A necessary and sufficient condition that the set of accumulation points of each subset be closed is that the set of accumulation points of ${x}$ be closed for each $x$ in $X$". Io ho cercato un pochino su internet ma ho trovato solo cose di topologia fuzzy che non sapevo neanche esistesse. Qualcuno conosce questo risultato o sa dirmi dove posso cercarlo? Io non sono avvezzo di articoli scientifici e non so dove cercarli.
Risposte
Non l'ho trovato granchè.
Non hai trovato granchè il risultato in se?
No, non ho trovato granchè da una ricerca che ho provato a fare di questo risultato.
Credo che venga attribuito a Yang quello che ad oggi è poco più di un esercizio, e che siano state studiate alcune sue generalizzazioni a framework di topologia diversi da quello standard (come la topologia senza punti).
grazie a entrambi
Ciao, credo di essere riuscito a dimostrarlo, se qualcuno mi dicesse se è tutto corretto sarebbe meglio, perché mi è sembra che sia una dimostrazione troppo corta.
Devo dimostrare che ${x}'$ è chiuso $hArr A' $ è chiuso dove $A$ è un qualunque sottoinsieme e ' è l'operatore che fornisce l'insieme dei punti di accumulazione.
Chiaramente la seconda implica la prima.
Passo alla dimostrazione che ${x}'$ è chiuso $rArr A' $:
basta dimostrare che $(A')^c$ è aperto, sia quindi $ x in (A')^c$ allora $EE$ un aperto $U_x$, con $x in U_x$ t.c. $ (U_x \\ {x}) nn A = O/ $, definisco $V_x= ({x}')^c nn U_x $ che è intersezione di due aperti (il primo per ipotesi). Si nota che $({x}')^c$ contiene $x$ perché $x$ non è di accumulazione per l'insieme ${x}$ per definizione di punto di accumulazione.
Se esistesse $y in U_x$ che è anche di accumulazione per $A$ allora $y in {x}'$ altrimenti se $y$ non fosse di accumulazione per ${x}$ allora esisterebbe un aperto $W_y$ tale che $W_y nn {x} = O/$ e quindi $W_y nn U_x$ sarebbe un aperto che non interseca $A$ e $y$ non sarebbe di accumulazione per $A$.
Quindi $V_x$ è un aperto che contiene $x$ e non contiene punti di accumulazione di $A$ perché gli unici punti di accumulazione di $A$ che può contenere $U_x$ sono i punti di accumulazione di ${x}$ che però non sono contenuti in $({x}')^c$.
Quindi l'unione di questi aperti $V_x AA x in (A')^c$ è aperta quindi $A'$ è chiuso.
Devo dimostrare che ${x}'$ è chiuso $hArr A' $ è chiuso dove $A$ è un qualunque sottoinsieme e ' è l'operatore che fornisce l'insieme dei punti di accumulazione.
Chiaramente la seconda implica la prima.
Passo alla dimostrazione che ${x}'$ è chiuso $rArr A' $:
basta dimostrare che $(A')^c$ è aperto, sia quindi $ x in (A')^c$ allora $EE$ un aperto $U_x$, con $x in U_x$ t.c. $ (U_x \\ {x}) nn A = O/ $, definisco $V_x= ({x}')^c nn U_x $ che è intersezione di due aperti (il primo per ipotesi). Si nota che $({x}')^c$ contiene $x$ perché $x$ non è di accumulazione per l'insieme ${x}$ per definizione di punto di accumulazione.
Se esistesse $y in U_x$ che è anche di accumulazione per $A$ allora $y in {x}'$ altrimenti se $y$ non fosse di accumulazione per ${x}$ allora esisterebbe un aperto $W_y$ tale che $W_y nn {x} = O/$ e quindi $W_y nn U_x$ sarebbe un aperto che non interseca $A$ e $y$ non sarebbe di accumulazione per $A$.
Quindi $V_x$ è un aperto che contiene $x$ e non contiene punti di accumulazione di $A$ perché gli unici punti di accumulazione di $A$ che può contenere $U_x$ sono i punti di accumulazione di ${x}$ che però non sono contenuti in $({x}')^c$.
Quindi l'unione di questi aperti $V_x AA x in (A')^c$ è aperta quindi $A'$ è chiuso.
È giusto, alla fine aveva ragione megas_archon, ci avevo pensato anche io ma mi sembrava un po' strano che si ricordasse con un nome un risultato così semplice da dimostrare che non facesse parte delle cose molto note.
Eh infatti, ora che l'ho risolto pare strano anche a me. Grazie
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