Equivalenza birazionale

[Pierlu11]

Avrei un dubbio veloce in geometria algebrica.
Se due curve $C_1$ e $C_2$ sono birazionalmente equivalenti e $C_1$ è irriducibile, posso affermare che anche $C_2$ è irriducibile?

[killing_buddha]

La definizione di equivalenza birazionale presuppone che le varietà siano irriducibili (credo che sia perché due varietà sono BE se e solo se hanno gli stessi campi delle funzioni globali, e perché questi campi siano effettivamente estensioni dei loro anelli delle funzioni serve che i suddetti anelli siano integri...)

[j18eos]

"killing_buddha":La definizione di equivalenza birazionale presuppone che le varietà siano irriducibili...

No, in generale è richiesto che si tratti di schemi ridotti; o se preferiamo l'ambito classico affine, che l'ideale di cui stiamo consideranto il luogo degli zeri in un qualche \(\displaystyle\mathbb{A}^n_{\mathbb{K}}\) sia radicale; ove, al solito, \(\displaystyle\mathbb{K}\) sia un campo algebricamente chiuso.

@Pierlu11 L'immagine continua di un insieme denso di \(\displaystyle C_1\), il quale supponi che sia irriducibile, è densa?, è irriducibile?

[killing_buddha]

"j18eos":[quote="killing_buddha"]La definizione di equivalenza birazionale presuppone che le varietà siano irriducibili...

No, in generale è richiesto che si tratti di schemi ridotti[/quote]
Qualcuno dovrebbe correggere wikipedia, allora https://en.wikipedia.org/wiki/Birational_geometry

[j18eos]

Più che sbagliata, è parziale!

Invece, qui sono descritti bene i morfismi razionali.