Equipotenza basi di spazi a dimensione qualsiasi
Salve a tutti! Dato il seguente teorema:
Sia V uno spazio vettoriale sul campo K, e A,B due basi di V. Allora A e B sono equipotenti.
Ho un dubbio sulla validità della dimostrazione nel caso di basi infinite riportata nel libro di Geometria di Marco Abate:
...
Supponiamo A e B infinite. Costruiamo un'applicazione f: A -> P*(B) (dove con P*(B) indichiamo l'insieme dei sottoinsiemi finiti di B) come segue: se v appartiene ad A, possiamo scrivere in modo unico:
v= y1w1+...+yr wr ,
per appropriati y1,...,yr appartenenti a K e w1,...,wr appartenenti a B; poniamo f(v)={w1,...,wr}.
Ora prendiamo W in P*(B) composto da n vettori, e sia Span(W) il sottospazio generato da W. Chiaramente, Span(W) ha dimensione n, per cui f-1(W) (l'inversa di f?) contiene al più n elementi. La base A è l'unione degli insiemi a due a due disgiunti f-1(W) al variare di W in P*(B);...ora dimostra tramite una proposizione e un corollario precedentemente dimostrati che card(A) è minore o uguale a card(B). Analogamente invertendo il ruolo di A e B otteniamo che card(B) è minore o uguale a card(A) quindi per il teorema di Cantor- Bernstein, card(A) = card(B).
I miei dubbi sono i seguenti:
Quando afferma che: "Chiaramente, Span(W) ha dimensione n, per cui f-1(W) (l'inversa di f?) contiene al più n elementi." con f-1 vuole indicare la funzione inversa di f? In tal caso non avrebbe senso dire che f-1(W) contiene al più n elementi perché essendo f invertibile è necessariamente biunivoca e quindi ad ogni W in P*(B) corrisponderebbe un solo elemento di A.
Per come è stata descritta non si può dare per scontato che f sia biunivoca infatti preso
v= y1w1+...+yr wr
esso potrebbe essere tranquillamente v=w1 in tal caso per come è stata definita la funzione potremmo prendere come immagine tramite f sia {w1,...,wr} che {w1} entrambi certamente contenuti in P*(B) e in realtà avremmo una scelta infinità di insiemi a cui assegnarlo. Ad esempio se avessimo v1,...,vr in A tali che v1 = w1,...,vr = wr potremmo tutti assegnarli a {w1,...,wr} tramite f.
Anche perché se fosse biunivoca avremmo card(A) = card(P*(B)) e per una proposizione già dimostrata abbiamo che
card(P*(B)) = card(B) e la tesi seguirebbe immediatamente.
Da come viene descritta sembrerebbe che con f-1 intenda quella funzione che ad un generico W in P*(B) associa l'insieme (che potrebbe anche essere vuoto) degli elementi di A che sono composizione di elementi di W e a cui sono stati assegnati tramite f , chiaramente poiché devono essere tutti linearmente indipendenti essi sarebbero al più n.
La mia domanda è: secondo voi cosa intende con la notazione f-1 se l'ha usata per indicare il tipo di funzione che ho immaginato io, un particolare tipo di funzione inversa oppure è tutt'altro il discorso. Spero di aver reso bene l'idea, fatemi sapere la vostra opinione su questa diavoleria
. Saluti 
p.s: naturalmente in f-1 il -1 è scritto all'apice secondo la notazione usuale della funzione inversa ma sono negato con latex, perdonatemi.
Sia V uno spazio vettoriale sul campo K, e A,B due basi di V. Allora A e B sono equipotenti.
Ho un dubbio sulla validità della dimostrazione nel caso di basi infinite riportata nel libro di Geometria di Marco Abate:
...
Supponiamo A e B infinite. Costruiamo un'applicazione f: A -> P*(B) (dove con P*(B) indichiamo l'insieme dei sottoinsiemi finiti di B) come segue: se v appartiene ad A, possiamo scrivere in modo unico:
v= y1w1+...+yr wr ,
per appropriati y1,...,yr appartenenti a K e w1,...,wr appartenenti a B; poniamo f(v)={w1,...,wr}.
Ora prendiamo W in P*(B) composto da n vettori, e sia Span(W) il sottospazio generato da W. Chiaramente, Span(W) ha dimensione n, per cui f-1(W) (l'inversa di f?) contiene al più n elementi. La base A è l'unione degli insiemi a due a due disgiunti f-1(W) al variare di W in P*(B);...ora dimostra tramite una proposizione e un corollario precedentemente dimostrati che card(A) è minore o uguale a card(B). Analogamente invertendo il ruolo di A e B otteniamo che card(B) è minore o uguale a card(A) quindi per il teorema di Cantor- Bernstein, card(A) = card(B).
I miei dubbi sono i seguenti:
Quando afferma che: "Chiaramente, Span(W) ha dimensione n, per cui f-1(W) (l'inversa di f?) contiene al più n elementi." con f-1 vuole indicare la funzione inversa di f? In tal caso non avrebbe senso dire che f-1(W) contiene al più n elementi perché essendo f invertibile è necessariamente biunivoca e quindi ad ogni W in P*(B) corrisponderebbe un solo elemento di A.
Per come è stata descritta non si può dare per scontato che f sia biunivoca infatti preso
v= y1w1+...+yr wr
esso potrebbe essere tranquillamente v=w1 in tal caso per come è stata definita la funzione potremmo prendere come immagine tramite f sia {w1,...,wr} che {w1} entrambi certamente contenuti in P*(B) e in realtà avremmo una scelta infinità di insiemi a cui assegnarlo. Ad esempio se avessimo v1,...,vr in A tali che v1 = w1,...,vr = wr potremmo tutti assegnarli a {w1,...,wr} tramite f.
Anche perché se fosse biunivoca avremmo card(A) = card(P*(B)) e per una proposizione già dimostrata abbiamo che
card(P*(B)) = card(B) e la tesi seguirebbe immediatamente.
Da come viene descritta sembrerebbe che con f-1 intenda quella funzione che ad un generico W in P*(B) associa l'insieme (che potrebbe anche essere vuoto) degli elementi di A che sono composizione di elementi di W e a cui sono stati assegnati tramite f , chiaramente poiché devono essere tutti linearmente indipendenti essi sarebbero al più n.
La mia domanda è: secondo voi cosa intende con la notazione f-1 se l'ha usata per indicare il tipo di funzione che ho immaginato io, un particolare tipo di funzione inversa oppure è tutt'altro il discorso. Spero di aver reso bene l'idea, fatemi sapere la vostra opinione su questa diavoleria
. Saluti p.s: naturalmente in f-1 il -1 è scritto all'apice secondo la notazione usuale della funzione inversa ma sono negato con latex, perdonatemi.
Risposte
Probabilmente intende la controimmagine di $W$ mediante $f$; che si denota $f^{-1}$ o \(f^\leftarrow\) (se citi questo commento vedrai con che codice TeX li ho ottenuti, scommetto che studiando algebra lineare hai capito cose più difficili ).
Così a caldo, $f$ non è iniettiva.
).Così a caldo, $f$ non è iniettiva.
"killing_buddha":
Probabilmente intende la controimmagine di $W$ mediante $f$; che si denota $f^{-1}$ o \(f^\leftarrow\) (se citi questo commento vedrai con che codice TeX li ho ottenuti, scommetto che studiando algebra lineare hai capito cose più difficili
Così a caldo, $f$ non è iniettiva.
Ci avevo pensato anch'io all'inizio ma non credo possa trattarsi della controimmagine perché f è una funzione che và da B1 in P*(B2) quindi una sua controimmagine dovrebbe essere del tipo $f^{-1}(W)$ dove W è però un sottoinsieme di P*(B2) e non un suo elemento,poichè la controimmagine ha come argomento un sottoinsieme del codominio. Nel nostro caso invece sembra proprio che W sia un suo elemento perché c'è scritto: " W appartiene a P*(B2)" . In realtà nel testo c'è il simbolo di appartenenza e non quello di inclusione. Se avesse voluto intendere la controimmagine avrebbe dovuto considerare l'insieme costituito da W che è a sua volta un insieme costituito da n elementi.
Spero che i miei dubbi siano fondati e se hai ulteriori delucidazioni te ne sarei infinitamente grato.
Grazie per l'attenzione e provvederò a cercare una guida di comandi tex appena posso.
[ot]Ciao Cla94, se può esserti utile, nell'editor dei messaggi c'è un pulsante [inline][Simboli LaTeX][/inline], che punta a una breve guida in formato PDF. [/ot]
[/ot]
"anonymous_be1147":
[ot]Ciao Cla94, se può esserti utile, nell'editor dei messaggi c'è un pulsante [inline][Simboli LaTeX][/inline], che punta a una breve guida in formato PDF.
Grazie
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