Equidistanza tra retta e piano
Salve ho un problema con il seguente esercizio: dati la retta $ r:{ (x-2z=0) , (x-y=1) :}$ e il piano $ p: x-y+z=1 $ determinare il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da r e p.. allora io ho imposto che la distanza tra un punto generico e la retta e la distanza tra il piano e lo stesso punto siano uguali. il problema è che non riesco a trovare la distanza tra il piano ed il punto
Risposte
se $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ è un punto generico di $R^3$ e $\pi: ax+by+cz+d=0$ è un piano, allora la distanza del punto dal piano vale $d(P_0,\pi)=|ax_0+by_0+cz_0+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)$.
Altrimenti se preferisci un metodo pratico (ma più laborioso, conviene di più usare la formula precedente) , dato il piano $\pi: ax+by+cz+d=0$ allora $n=(a,b,c)$ è il vettore (libero) normale. Quindi è facile trovare l'equazione della retta la quale direzione è definita dal vettore $n$ e passa per il punto $P_0$.
A questo punto si mettono a sistema la retta e il piano e si trova il punto di intersezione $Q_0$. La distanza fra i due punti è la distanza fra il punto e il piano.
Altrimenti se preferisci un metodo pratico (ma più laborioso, conviene di più usare la formula precedente) , dato il piano $\pi: ax+by+cz+d=0$ allora $n=(a,b,c)$ è il vettore (libero) normale. Quindi è facile trovare l'equazione della retta la quale direzione è definita dal vettore $n$ e passa per il punto $P_0$.
A questo punto si mettono a sistema la retta e il piano e si trova il punto di intersezione $Q_0$. La distanza fra i due punti è la distanza fra il punto e il piano.
io pensavo invece di esprimere la distanza punto piano così : $ d= ||( x,y ,z )^^( (....) )||/sqrt (..) $ dove ho messo i puntini dovrebbero starci i versori appartenenti a $r$ che non saprei trovare.. 
Senza far conti, ragioniamo 
, in $RR^3$ un piano $alpha$ e una retta $r$ si toccano o in un punto (al massimo all'infinito) o in ogni punto, affrontiamoli uno alla volta:
1) Si toccano in ogni punto della retta $r$, significa che i punti di equidistanza stanno sul piano $beta$ ortogonale al piano di partenza $alpha$ e contenente la retta $r$.
2) Si toccano all'infinito, lavorando su un piano $beta$ adeguato ortogonale alla retta $r$, si capisce subito che si taglia in una parabola, si tratterà quindi di un cilindro parabolico.
3) Si toccano in un punto non infinito, sappiamo che in quel punto avremo distanza pari a 0, poi la bisettrice tra retta $r$ e piano $beta$ ortogonale al piano $alpha$ contente la retta $r$. Si tratta di coni che hanno per asse la bisettrice tra le bisettrici
, in $RR^3$ un piano $alpha$ e una retta $r$ si toccano o in un punto (al massimo all'infinito) o in ogni punto, affrontiamoli uno alla volta:1) Si toccano in ogni punto della retta $r$, significa che i punti di equidistanza stanno sul piano $beta$ ortogonale al piano di partenza $alpha$ e contenente la retta $r$.
2) Si toccano all'infinito, lavorando su un piano $beta$ adeguato ortogonale alla retta $r$, si capisce subito che si taglia in una parabola, si tratterà quindi di un cilindro parabolico.
3) Si toccano in un punto non infinito, sappiamo che in quel punto avremo distanza pari a 0, poi la bisettrice tra retta $r$ e piano $beta$ ortogonale al piano $alpha$ contente la retta $r$. Si tratta di coni che hanno per asse la bisettrice tra le bisettrici
temo di non aver capito il punto 2 e 3... e comunque devo fare i conti perché è un esercizio di un compito di geometria
Se vuoi farlo coi conti, ti basta eguagliare il cilindro attorno alla retta alla distanza di un punto dal piano:
1) Per trovare il cilindro:
a) Trovi una base ortogonale rispetto alla retta:
$<((2),(2),(1))>+((0),(-1),(0))$
$<((2),(2),(1))>^\bot +((0),(-1),(0))= <((1),(-1),(0)) , ((1),(1),(-4))> + ((0),(-1),(0))$
b) Scrivi l'equazione del cilindro, attento che deve essere centrato in $((0),(-1),(0))$:
$( 1x -1y +0z -1)^2/(1^2 +1^2) + (1x +1y -4z +1)^2/(1^2 +1^2 + (-4)^2)= alpha^2$.
2) Trovi i piani equidistanti dal piano dato:
$(1x -1y +1z -1)^2/(1^2+(-1)^2 +1^2)= alpha^2$
3) Li eguagli:
$( 1x -1y +0z -1)^2/(1^2 +1^2) + (1x +1y -4z +1)^2/(1^2 +1^2 + (-4)^2)=(1x -1y +1z -1)^2/(1^2+(-1)^2 +1^2)$
Et voilà!
P.S. A te vedere di che figura si tratti
1) Per trovare il cilindro:
a) Trovi una base ortogonale rispetto alla retta:
$<((2),(2),(1))>+((0),(-1),(0))$
$<((2),(2),(1))>^\bot +((0),(-1),(0))= <((1),(-1),(0)) , ((1),(1),(-4))> + ((0),(-1),(0))$
b) Scrivi l'equazione del cilindro, attento che deve essere centrato in $((0),(-1),(0))$:
$( 1x -1y +0z -1)^2/(1^2 +1^2) + (1x +1y -4z +1)^2/(1^2 +1^2 + (-4)^2)= alpha^2$.
2) Trovi i piani equidistanti dal piano dato:
$(1x -1y +1z -1)^2/(1^2+(-1)^2 +1^2)= alpha^2$
3) Li eguagli:
$( 1x -1y +0z -1)^2/(1^2 +1^2) + (1x +1y -4z +1)^2/(1^2 +1^2 + (-4)^2)=(1x -1y +1z -1)^2/(1^2+(-1)^2 +1^2)$
Et voilà!
P.S. A te vedere di che figura si tratti
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