Equazioni sottospazi e riduzione di matrice con Gauss...
Salve
Devo trovare le equazioni cartesiane di un sottospazio $ V={L(1,1,2,1),(2,2,1,2)} $di $R^4$ , mi aspetto 2 equazioni, metto in matrice:
e impongo che il rango non sia massimo(cioè minore di 3)
$ ( ( 1 , 1, 2, 1),( 2, 2, 1 , 2),( x, y, z, t) ) $
Con Gauss :
$R_1=xR_1$:$ ( ( x , x, 2x, x),( 2, 2, 1 , 2),( x, y, z, t) ) $ :$R_3=R_1-R_3$---->$ ( ( x , x, 2x, x),( 2, 2, 1 , 2),( 0, x-y, 2x-z, x-t) ) $ $R_1= 2R_1/x$----->$ ( ( 2 , 2, 4, 2),( 2, 2, 1 , 2),( 0, x-y, 2x-z, x-t) ) $$R_2=R_1-R_2$------>$ ( ( 2 , 2, 4, 2),( 0, 0, 3 , 0),( 0, x-y, 2x-z, x-t) ) $ $R_1=R_1/2$-----> $( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, 0, 3 , 0),( 0, x-y, 2x-z, x-t) )$
Ora questa matrice non si può considerare ridotta secondo Gauss?
E se il rango non deve essere massimo allora l'ultima riga deve essere uguale a 0, cioè:
$x-y=0$,$2x-z=0$,$x-t=0$
Ma io mi aspettavo 2 equazioni e non 3.... cosa sbaglio?
Grazie
Devo trovare le equazioni cartesiane di un sottospazio $ V={L(1,1,2,1),(2,2,1,2)} $di $R^4$ , mi aspetto 2 equazioni, metto in matrice:
e impongo che il rango non sia massimo(cioè minore di 3)
$ ( ( 1 , 1, 2, 1),( 2, 2, 1 , 2),( x, y, z, t) ) $
Con Gauss :
$R_1=xR_1$:$ ( ( x , x, 2x, x),( 2, 2, 1 , 2),( x, y, z, t) ) $ :$R_3=R_1-R_3$---->$ ( ( x , x, 2x, x),( 2, 2, 1 , 2),( 0, x-y, 2x-z, x-t) ) $ $R_1= 2R_1/x$----->$ ( ( 2 , 2, 4, 2),( 2, 2, 1 , 2),( 0, x-y, 2x-z, x-t) ) $$R_2=R_1-R_2$------>$ ( ( 2 , 2, 4, 2),( 0, 0, 3 , 0),( 0, x-y, 2x-z, x-t) ) $ $R_1=R_1/2$-----> $( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, 0, 3 , 0),( 0, x-y, 2x-z, x-t) )$
Ora questa matrice non si può considerare ridotta secondo Gauss?
E se il rango non deve essere massimo allora l'ultima riga deve essere uguale a 0, cioè:
$x-y=0$,$2x-z=0$,$x-t=0$
Ma io mi aspettavo 2 equazioni e non 3.... cosa sbaglio?
Grazie
Risposte
"V1ncy":
...
$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, 0, 3 , 0),( 0, x-y, 2x-z, x-t) )$
Ora questa matrice non si può considerare ridotta secondo Gauss?
No, puoi ancora proseguire. Puoi scambiare due colonne senza modificare il rango.
Scambiando la seconda e la terza colonna, ottieni
$( ( 1 , 2, 1, 1),( 0, 3, 0 , 0),( 0, 2x-z, x-y, x-t) )$
$R_3:=R_3-\frac{1}{3}(2x-z)R_2$ ----> $( ( 1 , 2, 1, 1),( 0, 3, 0 , 0),( 0, 0, x-y, x-t) )$
Beh, ora credo che tu possa concludere da solo.
Ok e se invece volessi scambiare le righe?
Cioè da questa:
$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, 0, 3 , 0),( 0, x-y, 2x-z, x-t) )$ a questa:$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, 0, 3, 0) )$?
Sarà lo stesso MA non capisco perchè non è ridotta... ho seguito l'algoritmo descritto su wikipedia e da quel che ho capito adesso mi sembra ridotta ma mi ritrovo al punto di prima :S..
qualcuno riesce a spiegarmi?
Cioè da questa:
$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, 0, 3 , 0),( 0, x-y, 2x-z, x-t) )$ a questa:$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, 0, 3, 0) )$?
Sarà lo stesso MA non capisco perchè non è ridotta... ho seguito l'algoritmo descritto su wikipedia e da quel che ho capito adesso mi sembra ridotta ma mi ritrovo al punto di prima :S..
qualcuno riesce a spiegarmi?
"V1ncy":
...
$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, 0, 3, 0) )$?
Sarà lo stesso MA non capisco perchè non è ridotta...
E invece è ridotta a scala.
Il problema è che ti conviene avere sui primi elementi della diagonale principale numeri (non nulli) e non parametri, altrimenti il rango di quest'ultima matrice non si può calcolare semplicemente contando le righe non nulle (appunto perchè il valore degli elementi della seconda riga dipende dal valore di $x,y,z,t$).
Per calcolare il rango di quest'ultima matrice puoi per esempio usare il metodo dei minori orlati (che non so se conosci) e puoi ottenere che il rango è $2$ se e solo se $x-y=0$ e $x-t=0$ (cosa che abbiamo ottenuto anche in precedenza).
Scusa ma la matrice che ho scritto io, se considero la seconda riga nulla non avrà rango 2?non riesco a capire cosa devo fare praticamente per riuscire a ottenere un risultato esplicito (in questo caso per ottenere le equazioni) utilizzando gauss...
La riduzione a scalini riesco a ottenerla ma poi la mia testa mi dice che per avere un rango=2 basta avere la seconda riga della matrice nulla, cioè quelle 3 equazioni uguali a 0.. perchè cosi non funziona?
La riduzione a scalini riesco a ottenerla ma poi la mia testa mi dice che per avere un rango=2 basta avere la seconda riga della matrice nulla, cioè quelle 3 equazioni uguali a 0.. perchè cosi non funziona?
"V1ncy":
Scusa ma la matrice che ho scritto io, se considero la seconda riga nulla non avrà rango 2?
Sì, ma avere tutta la seconda riga nulla è "troppo". Voglio dire che anche se $x-y=0$ e $x-t=0$ la matrice avrà rango $2$, non è necessario che sia anche $2x-z=0$.
Per definizione, il rango di una matrice è il massimo numero di righe linearmente indipendenti ed è evidente che, se $x-y=0$ e $x-t=0$, anche se $2x-z!=0$ la seconda e la terza colonna sono linearmente indipendenti.
"V1ncy":
non riesco a capire cosa devo fare praticamente per riuscire a ottenere un risultato esplicito (in questo caso per ottenere le equazioni) utilizzando gauss...
Leggi più attentamente quello che ti ho detto precedentemente. Ti conviene tenere i numeri in alto e i parametri in basso oppure a questo punto usare il metodo dei minori orlati.
"V1ncy":
La riduzione a scalini riesco a ottenerla ma poi la mia testa mi dice che per avere un rango=2 basta avere la seconda riga della matrice nulla, cioè quelle 3 equazioni uguali a 0.. perchè cosi non funziona?
Certo, è vero basta. Ma non necessariamente è così. In "matematichese" si direbbe che è condizione sufficiente ma non necessaria.
Ok da questa matrice:
$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, 0, 3, 0) )$
mi dicevi di lasciare i numeri in alto e i parametri in basso, come dovrei fare?moltiplico l'ultima riga per $-(2x-z)$ e poi faccio la sottrazione tra la seconda riga e la terza?
$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, 0, 3, 0) )$ $R_3=R_3(-2x+z)/3$----->$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, 0, -2x+z, 0) )$
$R_3=R_2+R_3$------>$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, x-y, 0, x-t) )$
Ma in questo modo cosa ho concluso?ho parametri ovunque
$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, 0, 3, 0) )$
mi dicevi di lasciare i numeri in alto e i parametri in basso, come dovrei fare?moltiplico l'ultima riga per $-(2x-z)$ e poi faccio la sottrazione tra la seconda riga e la terza?
$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, 0, 3, 0) )$ $R_3=R_3(-2x+z)/3$----->$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, 0, -2x+z, 0) )$
$R_3=R_2+R_3$------>$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, x-y, 0, x-t) )$
Ma in questo modo cosa ho concluso?ho parametri ovunque
Ma tieni i numeri in alto, no?
Tu ti sei ostinato a voler cambiare l'ordine delle righe, è normale che porti i parametri in alto!
Scambia l'ordine di seconda e terza riga e poi l'ordine della seconda e della terza colonna e sei a posto!
Tu ti sei ostinato a voler cambiare l'ordine delle righe, è normale che porti i parametri in alto!
"V1ncy":
Ok da questa matrice:
$( ( 1 , 1, 2, 1),( 0, x-y, 2x-z , x-t),( 0, 0, 3, 0) )$
mi dicevi di lasciare i numeri in alto e i parametri in basso, come dovrei fare?
Scambia l'ordine di seconda e terza riga e poi l'ordine della seconda e della terza colonna e sei a posto!
Ah capito... in realtà mi sono fissato nel doverlo fare solamente cambiano ordine e operazioni sulle righe senza toccare le colonne, mi sa proprio che non si possa fare vero?se non con gli orlati intendo...
Sì, ripeto: lo scambio di righe non cambia il rango di una matrice.
Se vuoi usare l'algoritmo di Gauss per il calcolo del rango di una matrice, non ci sono problemi se scambi le colonne.
Se vuoi usare l'algoritmo di Gauss per il calcolo del rango di una matrice, non ci sono problemi se scambi le colonne.
Grazie tante per l'aiuto
Prego
Non è meglio mettere per colonna?
(la teoria è la stessa)
Scrivo i vettori generatori in colonna e aggiungo alla matrice formata da tali vettori un generico vettore , dato che siamo in $R^4$, chiamiamolo :$(x,y,z,t)$.
Ottengo la matrice:
$ ( (1,2,x),(1,2,y),(2,1,z),(1,2,t)) $ . Ora , dato che siamo in dim 4 e i due vettori sono linearmente indipendenti lo spazio generato sarà rappresentato da un sistema omogeneo di 2 equazioni in 4 incognite.
Riducendo in forma a scala ottengo:
$ ( (1,2,x),(1,2,y),(2,1,z),(1,2,t)) -> ( (1,2,x),(0,-3,z-2x),(0,0,y-x),(0,0,t-x))$.
Il mio spazio è dunque rappresentato dal sistema:
$ { ( y-x=0 ),( t-x=0 ):} $ .
(la teoria è la stessa)
Scrivo i vettori generatori in colonna e aggiungo alla matrice formata da tali vettori un generico vettore , dato che siamo in $R^4$, chiamiamolo :$(x,y,z,t)$.
Ottengo la matrice:
$ ( (1,2,x),(1,2,y),(2,1,z),(1,2,t)) $ . Ora , dato che siamo in dim 4 e i due vettori sono linearmente indipendenti lo spazio generato sarà rappresentato da un sistema omogeneo di 2 equazioni in 4 incognite.
Riducendo in forma a scala ottengo:
$ ( (1,2,x),(1,2,y),(2,1,z),(1,2,t)) -> ( (1,2,x),(0,-3,z-2x),(0,0,y-x),(0,0,t-x))$.
Il mio spazio è dunque rappresentato dal sistema:
$ { ( y-x=0 ),( t-x=0 ):} $ .
Sì, è decisamente più breve, ma secondo me non cambia la sostanza dell'algoritmo.
Alla fine è una questione di gusti.
Per fortuna siamo giunti allo stesso risultato. Vorrà dire che V1ncy ha una doppia conferma
Alla fine è una questione di gusti.
Per fortuna siamo giunti allo stesso risultato. Vorrà dire che V1ncy ha una doppia conferma
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