Equazioni retta
Vi propongo questo problema:
Fissato un riferimento cartesiano ortonormale positivo in $S_3$ si considerino il punto $P$ $\(0,1,3):$ e le rette
$r:$ $\{(x-2z-1=0),(y+3z=0):}$ $s:$ $\{(x+z=0),(y-z=0):}$
a) si determini la retta $t$ passante per il punto $P$ ortogonale alla retta $r$ e incidente alla retta $s$
b) si verifichi che le rette $r$ ed $s$ siano sghembe e se ne calcoli la minima distanza
Per il quesito a) ho trasformato le rette $r$ ed $s$ in forma parametrica però non riesco a trovare la retta $t$. Per il secondo quesito non so come fare.
Grazie,Oscar
Fissato un riferimento cartesiano ortonormale positivo in $S_3$ si considerino il punto $P$ $\(0,1,3):$ e le rette
$r:$ $\{(x-2z-1=0),(y+3z=0):}$ $s:$ $\{(x+z=0),(y-z=0):}$
a) si determini la retta $t$ passante per il punto $P$ ortogonale alla retta $r$ e incidente alla retta $s$
b) si verifichi che le rette $r$ ed $s$ siano sghembe e se ne calcoli la minima distanza
Per il quesito a) ho trasformato le rette $r$ ed $s$ in forma parametrica però non riesco a trovare la retta $t$. Per il secondo quesito non so come fare.
Grazie,Oscar
Risposte
Per il punto a io farei così:
parametrizzi $s$, cioè $s:{(x=u),(y=-u),(z=-u):}$
Prendiamo il vettore da P a un generico punto di $s$, che sarà $\vec {PP_s} =(u,-u-1,-u-3)$.
Calcoliamo il vettore di $r$ col solito prodotto vettoriale, che viene $\vec r = (2,-3,1)$.
Ora gli ultimi due vettori devono essere ortogonali, quindi prodotto scalare zero.
$2u+3u+3-u-3 = 0$ cioè $ u=0$.
La retta cercata quindi è $x=-y+1=-3z+9$ che è parallela a $\vec PP_s$ e passa per P.
Punto b.
Per vedere se sono sghembe metti a sistema le quattro equazioni delle rette, due eq. da $r$ e due da $s$. Vedi che il sistema non è compatibile, quindi sono sghembe.
parametrizzi $s$, cioè $s:{(x=u),(y=-u),(z=-u):}$
Prendiamo il vettore da P a un generico punto di $s$, che sarà $\vec {PP_s} =(u,-u-1,-u-3)$.
Calcoliamo il vettore di $r$ col solito prodotto vettoriale, che viene $\vec r = (2,-3,1)$.
Ora gli ultimi due vettori devono essere ortogonali, quindi prodotto scalare zero.
$2u+3u+3-u-3 = 0$ cioè $ u=0$.
La retta cercata quindi è $x=-y+1=-3z+9$ che è parallela a $\vec PP_s$ e passa per P.
Punto b.
Per vedere se sono sghembe metti a sistema le quattro equazioni delle rette, due eq. da $r$ e due da $s$. Vedi che il sistema non è compatibile, quindi sono sghembe.
"Quinzio":
Per il punto a io farei così:
parametrizzi $s$, cioè $s:{(x=u),(y=-u),(z=-u):}$
me lo spieghi questo passaggio? non mi entra in testa come si deve parametrizzare
Una delle due equazioni ti dice $x+y=0$.
Assegno io arbitrariamente $x=u$.
$y$ come potrà mai essere ? $u+y=0$, quindi $y=-u$.
Assegno io arbitrariamente $x=u$.
$y$ come potrà mai essere ? $u+y=0$, quindi $y=-u$.
ah o.o capito ora..più semplice del previsto XD grazie mille
(p.s.: non è che daresti un occhiata qui: determinare-cilindro-t91905.html ?
non capisco la parte sulle rette..)
(p.s.: non è che daresti un occhiata qui: determinare-cilindro-t91905.html ?
non capisco la parte sulle rette..)
"Quinzio":
Per il punto a io farei così:
parametrizzi $s$, cioè $s:{(x=u),(y=-u),(z=-u):}$
Prendiamo il vettore da P a un generico punto di $s$, che sarà $\vec {PP_s} =(u,-u-1,-u-3)$.
Calcoliamo il vettore di $r$ col solito prodotto vettoriale, che viene $\vec r = (2,-3,1)$.
Ora gli ultimi due vettori devono essere ortogonali, quindi prodotto scalare zero.
$2u+3u+3-u-3 = 0$ cioè $ u=0$.
La retta cercata quindi è $x=-y+1=-3z+9$ che è parallela a $\vec PP_s$ e passa per P.
Punto b.
Per vedere se sono sghembe metti a sistema le quattro equazioni delle rette, due eq. da $r$ e due da $s$. Vedi che il sistema non è compatibile, quindi sono sghembe.
Per il bunto b) basta anche verificare che non siano complanari,col prodotto scalare delle componenti dei vettori direttori? Come hai fatto a calcolare $PP_s$? I vettori di $t$ ed $r$ devono essere ortogonali,quindi vuol dire che il vettore $PP_s$ il vettore direttore di $t$?
Grazie,Oscar
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