Equazioni parametriche a equazioni cartesiane

[sangi89]

Salve,
ho la seguente cubica avente equazione parametrica:

$x=(at)/(1+t^3)$ $y=(at^2)/(1+t^3)$ con $a$ numero reale positivo,
come faccio a esplicitarza sotto forma di un equazione cartesiana?

[vittorino70]

Prova a calcolare il rapporto \(\displaystyle \frac{y}{x} \)

[sangi89]

mi viene $t$, quindi?

[vittorino70]

Quindi ti viene \(\displaystyle t=\frac{y}{x} \). Cosa vuoi più dalla vita ? Fai uno sforzo e sostituisci questa t cosi trovata
da qualche parte e vedrai l'effetto che fa ...

[sangi89]

per quanto ne ho studiato fino ad ora, bisogna usare la matrice di Sylvester, ma non saprei come in questo caso

[vittorino70]

Perché scomodare il risultante di Sylvester quando basta sostituire la t trovata in una delle due equazione della curva.
Sostituendo ad esempio nella prima hai :
\(\displaystyle x=\frac{a\dot(y/x)}{1+\frac{y^3}{x^3}} \)
ovvero:
\(\displaystyle x+\frac{y^3}{x^2} =a\frac{y}{x}\)
Riducendo a forma intera ottieni l'equazione cartesiana della curva:
\(\displaystyle x^3+y^3-axy=0\)
Se non sbaglio la curva è detta "folium cartesii"

[sangi89]

che stupida!
Grazie mille