Equazioni parametriche
Salve a tutti avrei una domanda da farvi:
considerando questo sistema:
$\{(x = 2z + 1),(y = 3z - 2):}$
lo si può pensare come l'equazione parametrica di una retta che dipende dal parametro "z"; quindi questo sistema è una retta!
Se noi pensiamo le due equazioni separate, la prima sarebbe l'equazione di una retta sul piano x z, mentre l'altra l'equazione di un'altra retta sul piano y z. Quindi sarebbe l'intersezione di due rette appartenenti a due piani ortogonali! Quindi al limite, da questo sistema, dovremmo ottenere un punto!! è chiaramente un ragionamento sbagliato, però logicamente dovrebbe funzionare. Allora dove sta l'errore in questa considerazione???
considerando questo sistema:
$\{(x = 2z + 1),(y = 3z - 2):}$
lo si può pensare come l'equazione parametrica di una retta che dipende dal parametro "z"; quindi questo sistema è una retta!
Se noi pensiamo le due equazioni separate, la prima sarebbe l'equazione di una retta sul piano x z, mentre l'altra l'equazione di un'altra retta sul piano y z. Quindi sarebbe l'intersezione di due rette appartenenti a due piani ortogonali! Quindi al limite, da questo sistema, dovremmo ottenere un punto!! è chiaramente un ragionamento sbagliato, però logicamente dovrebbe funzionare. Allora dove sta l'errore in questa considerazione???
Risposte
Se sono equazioni in $RR^3$, ognuna di esse rappresenta un piano, non una retta.
in una la variabile è z e l'ordinata è x! mentre per l'altra la variabile è z e l'ordinata è y! quindi ciascuna è una funzione da R in R
a no certo hai ragione tu, le leggi da cui dipende z sono 2 quindi è come se fosse una sola equazione!
Non capisco il senso della domanda....se vedi x=x (z) o y=y (z) le vedi come rette..nel piano x-z e y-z mentre se le vedi come eq parametriche di una retta vedi ancora una retta ma nel piano x,y...z è un parametro che non vedi...
si ma se è un sistema dovrebbe dare un punto visto che separatamente sono 2 rette! il discorso è che il parametro comune è una funzione dell'altra variabile!
Scusa la franchezza, ma pensi di nuotare in ciò che è solo un bicchier d'acqua. La matematica non è mica filosofia, non contano le parole, conta la realtà - matematica, appunto! -.
Certo, due rette nello spazio - contenute o meno in due piani ortogonali -, se non sono sghembe, possono anche "incontrarsi" in un pto. Ma se ne vuoi ragionare matematicamente, devi avere le equazioni delle due rette "nello spazio". Ripassa: quelle non sono equazioni di rette nello spazio. Sono equazioni di piani nello spazio. Non è la stessa cosa.
Potrebbero essere equazioni di rette nel piano, certo, questo sì e - dato un piano - due rette potrebbero anche "incontrarsi". Ma se hai un piano e in esso descrivi due rette - in un "modo ragionevole" - esse saranno descritte tramite le stesse coordinate. O $x$ e $z$ tutte e due o $y$ e $z$ tutte e due. Che senso potrebbe mai avere descrivere due rette dello stesso piano, ognuna con una diversa coppia di coordinate? Te ne sei reso conto? Non c'è nessuna contraddizione e la matematica non è - poi - così vulnerabile o contraddittoria. Tutt'altro! Devi avere ben chiare le equazioni di rette nel piano e nello spazio. Altrimenti, perdi tempo. E se vuoi capire perché esiste "formalmente" somiglianza tra l'equazione di una retta nel piano e quella di un piano nello spazio basta tu legga la pagina introduttiva del capitolo sugli spazi affini. E non devi pensare che possa esistere l'equazione di "qualcosa" in assoluto. Il controesempio rappresentato dal fatto che l'equazione della retta nel piano è diversa da quella dello stesso "ente" nello spazio - confusione su cui ti sei dibattuto - sta lì a dimostrartelo.
Certo, due rette nello spazio - contenute o meno in due piani ortogonali -, se non sono sghembe, possono anche "incontrarsi" in un pto. Ma se ne vuoi ragionare matematicamente, devi avere le equazioni delle due rette "nello spazio". Ripassa: quelle non sono equazioni di rette nello spazio. Sono equazioni di piani nello spazio. Non è la stessa cosa.
Potrebbero essere equazioni di rette nel piano, certo, questo sì e - dato un piano - due rette potrebbero anche "incontrarsi". Ma se hai un piano e in esso descrivi due rette - in un "modo ragionevole" - esse saranno descritte tramite le stesse coordinate. O $x$ e $z$ tutte e due o $y$ e $z$ tutte e due. Che senso potrebbe mai avere descrivere due rette dello stesso piano, ognuna con una diversa coppia di coordinate? Te ne sei reso conto? Non c'è nessuna contraddizione e la matematica non è - poi - così vulnerabile o contraddittoria. Tutt'altro! Devi avere ben chiare le equazioni di rette nel piano e nello spazio. Altrimenti, perdi tempo. E se vuoi capire perché esiste "formalmente" somiglianza tra l'equazione di una retta nel piano e quella di un piano nello spazio basta tu legga la pagina introduttiva del capitolo sugli spazi affini. E non devi pensare che possa esistere l'equazione di "qualcosa" in assoluto. Il controesempio rappresentato dal fatto che l'equazione della retta nel piano è diversa da quella dello stesso "ente" nello spazio - confusione su cui ti sei dibattuto - sta lì a dimostrartelo.
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