Equazioni nella base naturale
Salve a tutti, mi servirebbe una mano per capire una tipologia di esercizio in cui mi chiede di determinare le equazioni nella base naturale dei seguenti sottospazi di $RR^4$ :
$U={(0,1,-1,0),(1,-1,2,0),(2,-2,4,0)}$
$V={(0,-1,-1,0),(0,1,-1,0),(1,0,0,1)}$
Per quanto ho capito le equazioni della "base naturale" (o base canonica?) sarebbero le equazioni cartesiane ricavate da un sistema di generatori?
-Qualcuno mi può dare la definizione specifica di "determinare le equazioni della base naturale"?
Passando all'esercizio se ho capito bene dovrei mettere i vettori in una matrice completa con le incognite x,y,z,t e ridurla a scala, per ricavarmi l'equazione cartesiana..
$((0,1,2,x),(1,-1,-2,y),(-1,2,4,z),(0,0,0,t))$ $hArr$ $((1,-1,-2,y),(0,1,2,x),(0,0,0,y+z-x),(0,0,0,t))$ $hArr$ $\{(y+z-x=0), (t=0):}$ $hArr$ $\{(y=-z+x), (t=0):}$
Quindi:
$U:{(x,-z+x,z,0) in RR^4 | y+z-x=0, t=0} $
Mentre per V riducendo la matrice a scala mi trovo:
$V:{(t-x=0):}$ $hArr$ $\{(t=x)$
$V:{(x,y,z,x) in RR^4 | t-x=0}$
Potete dirmi se il procedimento è giusto per risolvere ciò che chiede l'esercizio? Inoltre devo provare che U e V non sono supplementari.
$dimU=2, dimV=3 hArr UnnV != {\vec 0}$
Siccome $UnnV = (0,-z+x,0) =(0,1,-1,0)$ quindi non sono supplementari (dato che non contengono il vettore nullo). Se dovessi dimostrarlo con la formula di Grassmann come dovrei fare? Il mio ragionamento è giusto comunque? Grazie
$U={(0,1,-1,0),(1,-1,2,0),(2,-2,4,0)}$
$V={(0,-1,-1,0),(0,1,-1,0),(1,0,0,1)}$
Per quanto ho capito le equazioni della "base naturale" (o base canonica?) sarebbero le equazioni cartesiane ricavate da un sistema di generatori?
-Qualcuno mi può dare la definizione specifica di "determinare le equazioni della base naturale"?
Passando all'esercizio se ho capito bene dovrei mettere i vettori in una matrice completa con le incognite x,y,z,t e ridurla a scala, per ricavarmi l'equazione cartesiana..
$((0,1,2,x),(1,-1,-2,y),(-1,2,4,z),(0,0,0,t))$ $hArr$ $((1,-1,-2,y),(0,1,2,x),(0,0,0,y+z-x),(0,0,0,t))$ $hArr$ $\{(y+z-x=0), (t=0):}$ $hArr$ $\{(y=-z+x), (t=0):}$
Quindi:
$U:{(x,-z+x,z,0) in RR^4 | y+z-x=0, t=0} $
Mentre per V riducendo la matrice a scala mi trovo:
$V:{(t-x=0):}$ $hArr$ $\{(t=x)$
$V:{(x,y,z,x) in RR^4 | t-x=0}$
Potete dirmi se il procedimento è giusto per risolvere ciò che chiede l'esercizio? Inoltre devo provare che U e V non sono supplementari.
$dimU=2, dimV=3 hArr UnnV != {\vec 0}$
Siccome $UnnV = (0,-z+x,0) =(0,1,-1,0)$ quindi non sono supplementari (dato che non contengono il vettore nullo). Se dovessi dimostrarlo con la formula di Grassmann come dovrei fare? Il mio ragionamento è giusto comunque? Grazie
Risposte
La prima parte mi sembra giusta! 
E la seconda no? 
È una parte che non ho trattato ancora 
Ah va bene grazie, aspetto risposte da altri magari
Scusate l'intromissione.
@Magma. Credo che per supplementari intenda il concetto di somma diretta.
$U$ e $V$ si dicono in somma diretta $<=>$ $U+V=RR^4$ $ ^^$ $ Unn V={vec0} $ . In tal caso si scrive $ U oplus V $.
Se ha trovato che l'intersezione è non banale, allora hai che i due sottospazi non sono in somma diretta.
Più velocemente: formula di Grassman: $dim(U+V) =dim(U)+dim(V) -dim(U nnV)$, che potrebbe essere più rapido di calcolarsi l'intersezione tra $U$ e $V$ (non ho fatto i conti
)
@Magma. Credo che per supplementari intenda il concetto di somma diretta.
$U$ e $V$ si dicono in somma diretta $<=>$ $U+V=RR^4$ $ ^^$ $ Unn V={vec0} $ . In tal caso si scrive $ U oplus V $.
Se ha trovato che l'intersezione è non banale, allora hai che i due sottospazi non sono in somma diretta.
Più velocemente: formula di Grassman: $dim(U+V) =dim(U)+dim(V) -dim(U nnV)$, che potrebbe essere più rapido di calcolarsi l'intersezione tra $U$ e $V$ (non ho fatto i conti
)
Bene quindi l'esercizio per quanto riguarda "scrivere le equazioni nella base naturale" è corretto? Grazie.
Sì, ti ha chiesto in sostanza l'equazione cartesiana del tuo sottospazio scritta rispetto alla base canonica
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