Equazioni matriciali dove b è una matrice di termini noti?
Buonasera! 
Ho cercato in tutti i modi di capire come si risolve questo tipo di equazioni ma non riesco! Vi riporto un esercizio svolto:
$(( 1 ,2,1),(1,-1, 1 ))X = ((1,-1),(1,0))$
Riduco per avere un sistema equivalente più facile:
$(( 1,0,1),(0, 1,0 ))X = ((1,-1/3),(0,-1/3))$
da cui il sistema:
${X_1 +X_3 = ((1,-1/3))$
$X_2=((0,-1/3))$
Ecco qui non capisco cos'è $ X_i$ (le colonne della matrice?), nè perchè sommo $X_1 +X_3$.
$X= ((1-x_(31),-1/3-x_(32)),(0,-1/3),(x_(31),x_(32)))$
e nemmeno come si sono ottenute tali soluzioni.
Grazie!!
Ho cercato in tutti i modi di capire come si risolve questo tipo di equazioni ma non riesco! Vi riporto un esercizio svolto:
$(( 1 ,2,1),(1,-1, 1 ))X = ((1,-1),(1,0))$
Riduco per avere un sistema equivalente più facile:
$(( 1,0,1),(0, 1,0 ))X = ((1,-1/3),(0,-1/3))$
da cui il sistema:
${X_1 +X_3 = ((1,-1/3))$
$X_2=((0,-1/3))$
Ecco qui non capisco cos'è $ X_i$ (le colonne della matrice?), nè perchè sommo $X_1 +X_3$.
$X= ((1-x_(31),-1/3-x_(32)),(0,-1/3),(x_(31),x_(32)))$
e nemmeno come si sono ottenute tali soluzioni.
Grazie!!
Risposte
L'esempio che lei ha proposto si basa sulla risoluzione di un sistema lineare in due equazioni e in tre incognite. Essendo le equazioni indipendenti, il sistema ammette infinito a uno soluzioni.
"pigrecoedition":
L'esempio che lei ha proposto si basa sulla risoluzione di un sistema lineare in due equazioni e in tre incognite. Essendo le equazioni indipendenti, il sistema ammette infinito a uno soluzioni.
Grazie!
Ho capito il perchè di quel sistema, ma non capisco comunque come si risolva, dal momento che anziché una sola costante ho come termine noto un vettore a due componenti! 
non so se possa ancora servirti ma provo a rispondere lo stesso. permettimi di cambiare un po' le notazioni per semplicità. all'inizio comunque le notazioni del libro non mi sono chiare (secondo me ha sbagliato a chiamare $X_i$ ma non ne sono sicuro). premesso questo....
definisco la matrice X in questo modo:
non riduco con Gauss tanto non abbiamo conti improponibili. a questo punto quello che devi fare è semplicemente svolgere il prodotto riga colonna tra la matrice data ed X che ho definito in precedenza. quindi:
questa devi eguagliarla ora alla matrice dei termini noti, ovvero
ora lavora sulla definizione: quando due matrici sono uguali? quando sono uguali tutte le entrate. da questo, eguagliando tra loro le entrate delle matrici, otteniamo il sistema seguente:
$ { ( a+2c+e=1 ),( b+2d+f=-1 ),( a-c+e=1 ),( b-d+f=0 ):} hArr { ( c=0 ),(d=-1/3 ),( a=1-e ),( b=-1/3-f ):} $
dove $e,f in RR$.
quindi la matrice X è:
il tuo libro invece che usare le lettere dell'alfabeto ha usato le coordinate della matrice. per cui hai $a= x_(11); b=x_(12); c=x_(21)$ ecc.
definisco la matrice X in questo modo:
$ X:= ( ( a , b ),( c , d ),( e , f ) ) $
non riduco con Gauss tanto non abbiamo conti improponibili. a questo punto quello che devi fare è semplicemente svolgere il prodotto riga colonna tra la matrice data ed X che ho definito in precedenza. quindi:
$ ( ( 1 , 2 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ) )* ( ( a , b ),( c , d ),( e , f ) ) =( ( a+2c+e , b+2d+f ),( a-c+e , b-d+f ) ) $
questa devi eguagliarla ora alla matrice dei termini noti, ovvero
$ ( ( a+2c+e , b+2d+f ),( a-c+e , b-d+f ) ) = ( ( 1 , -1 ),( 1 , 0 ) ) $
ora lavora sulla definizione: quando due matrici sono uguali? quando sono uguali tutte le entrate. da questo, eguagliando tra loro le entrate delle matrici, otteniamo il sistema seguente:
$ { ( a+2c+e=1 ),( b+2d+f=-1 ),( a-c+e=1 ),( b-d+f=0 ):} hArr { ( c=0 ),(d=-1/3 ),( a=1-e ),( b=-1/3-f ):} $
dove $e,f in RR$.
quindi la matrice X è:
$ ( ( 1-e , -1/3-f ),( 0 , -1/3 ),( e , f ) ) $
il tuo libro invece che usare le lettere dell'alfabeto ha usato le coordinate della matrice. per cui hai $a= x_(11); b=x_(12); c=x_(21)$ ecc.
Grazie, tutto chiarissimo! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo