Equazioni matriciali
Ho da poco iniziato a studiare il calcolo matriciale mi è sorto subito un dubbio sulle operazioni riguardanti l'algebra delle matrici specificamente sui vettori.
Se ho la seguente equazione:
\(\displaystyle A \cdot x=B\)
Con $x,B$ entrambi vettori colonna ed $A$ matrice qualsiasi, se non sbaglio per trovare il vettore colonna $x$ posso fare:
\(\displaystyle x=B \cdot A^{(-1)}\)
$A^{(-1)}$ indica la matrice inversa di $A$, questo è valido se conosco sia $B$ che $A$, ma se ho noti solo $x$ e $B$ e invece vorrei trovare $A$ allora dovrei fare similmente:
\(\displaystyle A=B \cdot x^{(-1)}\)
Solo che $x$ è un vettore e non so se è possibile calcolare l'inverso, chiedo quindi esiste un metodo per calcolare $A$ conoscendo $B$ e $x$?
Se ho la seguente equazione:
\(\displaystyle A \cdot x=B\)
Con $x,B$ entrambi vettori colonna ed $A$ matrice qualsiasi, se non sbaglio per trovare il vettore colonna $x$ posso fare:
\(\displaystyle x=B \cdot A^{(-1)}\)
$A^{(-1)}$ indica la matrice inversa di $A$, questo è valido se conosco sia $B$ che $A$, ma se ho noti solo $x$ e $B$ e invece vorrei trovare $A$ allora dovrei fare similmente:
\(\displaystyle A=B \cdot x^{(-1)}\)
Solo che $x$ è un vettore e non so se è possibile calcolare l'inverso, chiedo quindi esiste un metodo per calcolare $A$ conoscendo $B$ e $x$?
Risposte
Hai una intera matrice di coefficienti come incognita quindi un sistema lineare di \(m\times n\) incognite ed \(m\) equazioni. No? Ricordi qualche teorema a riguardo? Questo è ciò che mi viene in mente.
Vero, quindi è tutto collegato, allora quando ho in un equazione matriciale l'inverso di un vettore vuol dire che ho un sistema di n equazioni e m incognite con m>n giusto?
Non sono sicuro che abbia senso. Se hai \(Ax=b\) dove \(A\) è un'incognita allora a mano dovresti potere riscrivere il sistema nella forma \(A'x'=b'\) dove l'incognita ora è \(x'\). Se il sistema è risolvibile allora riarrangi \(x'\) nella matrice \(A\) in modo da soddisfare \(Ax=b\).
Se con questo procedimento per un certo insieme riesci a definire come proprietà algebrica l'elemento inverso di un vettore allora ok. Se invece nel tuo libro non è specificato l'elemento inverso di un vettore allora lascia stare che non ti serve. Se mi ricordassi l'argomento potrei risponderti in modo più specifico.
Se con questo procedimento per un certo insieme riesci a definire come proprietà algebrica l'elemento inverso di un vettore allora ok. Se invece nel tuo libro non è specificato l'elemento inverso di un vettore allora lascia stare che non ti serve. Se mi ricordassi l'argomento potrei risponderti in modo più specifico.
Attenzione, IL PRODOTTO DI MATRICI NON E' COMMUTATIVO.
\begin{align} A x &= b \\
A^{-1} A x &= A^{-1}b \\
x &= A^{-1}b
\end{align}
Anche se in genere risolvere il sistema richiede meno operazioni.
L'inverso moltiplicativo (secondo il prodotto matriciale) di un vettore non ha senso perché tu non puoi moltiplicare tra di loro vettori colonna con vettori colonna.
\begin{align} A x &= b \\
A^{-1} A x &= A^{-1}b \\
x &= A^{-1}b
\end{align}
Anche se in genere risolvere il sistema richiede meno operazioni.
L'inverso moltiplicativo (secondo il prodotto matriciale) di un vettore non ha senso perché tu non puoi moltiplicare tra di loro vettori colonna con vettori colonna.
"CaMpIoN":
ma se ho noti solo $x$ e $B$ e invece vorrei trovare $A$
C'è una equivalenza tra endomorfismi e matrici. Se hai solo $x$ e $b$, la $A$ che manda l'uno nell'altro non è univocamente determinata.
"vict85":
Attenzione, IL PRODOTTO DI MATRICI NON E' COMMUTATIVO.
\begin{align} A x &= b \\
A^{-1} A x &= A^{-1}b \\
x &= A^{-1}b
\end{align}
Anche se in genere risolvere il sistema richiede meno operazioni.
L'inverso moltiplicativo (secondo il prodotto matriciale) di un vettore non ha senso perché tu non puoi moltiplicare tra di loro vettori colonna con vettori colonna.
un'altro motivo per cui non è possibile trovare la $x$, sono molto soddisfatto delle risposte
vi ringrazio tutti per l'aiuto, alla prossima 
"CaMpIoN":
[quote="vict85"]Attenzione, IL PRODOTTO DI MATRICI NON E' COMMUTATIVO.
\begin{align} A x &= b \\
A^{-1} A x &= A^{-1}b \\
x &= A^{-1}b
\end{align}
Anche se in genere risolvere il sistema richiede meno operazioni.
L'inverso moltiplicativo (secondo il prodotto matriciale) di un vettore non ha senso perché tu non puoi moltiplicare tra di loro vettori colonna con vettori colonna.
un'altro motivo per cui non è possibile trovare la $x$, sono molto soddisfatto delle risposte
vi ringrazio tutti per l'aiuto, alla prossima [/quote]Non sono sicuro che tu abbia capito ciò che ti ho detto. Purché $A$ sia invertibile, la $x$ si può trovare usando la formula che ti ho scritto. Tu avevi sbagliato la formula.
Quello l'ho capito io cercavo proprio la A non per un motivo importante, ma solo curiosità per verificare i limiti disposti del calcolo matriciale.
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