Equazioni lineari
Sia un sistema di equazioni lineari omogenee nel corpo $K$, con $n $ incognite.
Dimostrare che l'insieme delle soluzioni $ X= < x1,...,xn> $ è uno spazio vettoriale sul corpo $K$
Dimostrare che l'insieme delle soluzioni $ X= < x1,...,xn> $ è uno spazio vettoriale sul corpo $K$
Risposte
Sicura che sia corpo e non campo?
Sì
"anto_zoolander":
Sicura che sia corpo e non campo?
Il lang per "corpo" intende "campo".
devo dimostrare che
- il vettore nullo è una soluzione (cioè un xi ) di $ x1 A1 + x2 A2 +...+ xn An = 0 $ (ho scritto aii come vettori colonna)
- la somma di due vettori soluzioni del sistema è ancora un vettore soluzione
- moltiplicando un vettore soluzione per uno scalare ottieni ancora un vettore soluzione
La prima penso sia facilmente dimostrabile: se per esempio tutte le $x$ sono $0$, allora il termine noto sarà $0 $
Non riesco a capire come siano sempre possibili le altre due condizioni... cioè cosa assicura che una $x$ possa assumere un valore qualsiasi?
- il vettore nullo è una soluzione (cioè un xi ) di $ x1 A1 + x2 A2 +...+ xn An = 0 $ (ho scritto aii come vettori colonna)
- la somma di due vettori soluzioni del sistema è ancora un vettore soluzione
- moltiplicando un vettore soluzione per uno scalare ottieni ancora un vettore soluzione
La prima penso sia facilmente dimostrabile: se per esempio tutte le $x$ sono $0$, allora il termine noto sarà $0 $
Non riesco a capire come siano sempre possibili le altre due condizioni... cioè cosa assicura che una $x$ possa assumere un valore qualsiasi?
"Lavinia Volpe":
devo dimostrare che
- il vettore nullo è una soluzione (cioè un xi ) di $ x1 A1 + x2 A2 +...+ xn An = 0 $ (ho scritto aii come vettori colonna)
- la somma di due vettori soluzioni del sistema è ancora un vettore soluzione
- moltiplicando un vettore soluzione per uno scalare ottieni ancora un vettore soluzione
La prima penso sia facilmente dimostrabile: se per esempio tutte le $x$ sono $0$, allora il termine noto sarà $0 $
Non riesco a capire come siano sempre possibili le altre due condizioni... cioè cosa assicura che una $x$ possa assumere un valore qualsiasi?
Infatti non dice che $x$ può assumere un valore qualsiasi. Prendi due soluzioni $z = (z_1, ..., z_n)$ e $w = (w_1, ..., w_n)$ dell'equazione, allora $(z_1+w_1)A_1 + ... + (z_n + w_n)A_n = (z_1 A_1 + ... + z_nAn) + ( w_1A_1 + ... + w_nAn) = 0 + 0 = 0$ dove nell'ultimo passaggio ho usato che $z, w$ sono soluzioni dell'equazione.
Prova adesso a dimostrare l'ultimo punto.
dimostrazione dell'ultimo punto:
$ c*X= (c*x(1),...,cxn) $
allora l'equazione diventa: $ (c*x(1))A1 +...+c*x(n)An $
$= c(x(1)*A1)+...+c(xnAn) =$
$= c*(x(1)A1+...+xnAn)$
$ = c*0 =0$
Scusami, scrivo un po' di dubbi :/
avevo inteso come soluzione una singola xi e non $X=< x1,...,xn>$ (ho parlato di vettori, ma quella è la trascrizione di un suggerimento che mi ha dato un'altra persona e che non avevo ben capito!)
Parlo del punto secondo (quello che hai dimostrato tu)
Cioè io pensavo a $ X $ come spazio vettoriale costituito da$ n$ elementi $ x1,...,xn $. Pensavo quindi di dover dimostrare nel primo caso che dato
$ x1 A1+...+ xn An =0 $, allora $ (x1+x(i)) A1 +...+xnAn = 0$
cioè tu mi stai dicendo che devo sommare a un xi che fa parte di una combinazione tale che il sistema sia di equazioni omogenee, un xi che faccia parte non della stessa combinazione, ma di un'altra sempre fatta in modo che il sistema sia costituito da equazioni che abbiano gli stessi vettori $A1,...,An$ e che siano omogenee. O magari la combinazione è unica, quello è solo il modo di dimostrarlo. noto che sommo sempre $x1$ con $x1$ e non per esempio$ x1$ con $ x2$
A meno che per $ X $ isieme di soluzioni non si intendano tutti i possibili set
Poi ho dubbi anche sul primo punto
l'ho dimostrato solo nel caso in cui tutti gli x siano pari a zero
ma se sono linearmente dipendenti?
Comunque, stando alla definizione di spazio vettoriale, credo che dovrei dimostrare che
esiste un elemento di $X$, indicato con $O$, tale che:
$O+u=u+O=u$
e questo è dimostrabile prendendo $X=0,...,0$ e un $X$ qualsiasi (sempre facente parte del set di soluzioni) e procedendo come hai fatto tu per il punto 2.
ma se A1,...,An sono linearmente dipendenti (cioè se n>m), non posso usare nella dimostrazione X=0,0,0..
$ c*X= (c*x(1),...,cxn) $
allora l'equazione diventa: $ (c*x(1))A1 +...+c*x(n)An $
$= c(x(1)*A1)+...+c(xnAn) =$
$= c*(x(1)A1+...+xnAn)$
$ = c*0 =0$
Scusami, scrivo un po' di dubbi :/
avevo inteso come soluzione una singola xi e non $X=< x1,...,xn>$ (ho parlato di vettori, ma quella è la trascrizione di un suggerimento che mi ha dato un'altra persona e che non avevo ben capito!)
Parlo del punto secondo (quello che hai dimostrato tu)
Cioè io pensavo a $ X $ come spazio vettoriale costituito da$ n$ elementi $ x1,...,xn $. Pensavo quindi di dover dimostrare nel primo caso che dato
$ x1 A1+...+ xn An =0 $, allora $ (x1+x(i)) A1 +...+xnAn = 0$
cioè tu mi stai dicendo che devo sommare a un xi che fa parte di una combinazione tale che il sistema sia di equazioni omogenee, un xi che faccia parte non della stessa combinazione, ma di un'altra sempre fatta in modo che il sistema sia costituito da equazioni che abbiano gli stessi vettori $A1,...,An$ e che siano omogenee. O magari la combinazione è unica, quello è solo il modo di dimostrarlo. noto che sommo sempre $x1$ con $x1$ e non per esempio$ x1$ con $ x2$
A meno che per $ X $ isieme di soluzioni non si intendano tutti i possibili set
Poi ho dubbi anche sul primo punto
l'ho dimostrato solo nel caso in cui tutti gli x siano pari a zero
ma se sono linearmente dipendenti?
Comunque, stando alla definizione di spazio vettoriale, credo che dovrei dimostrare che
esiste un elemento di $X$, indicato con $O$, tale che:
$O+u=u+O=u$
e questo è dimostrabile prendendo $X=0,...,0$ e un $X$ qualsiasi (sempre facente parte del set di soluzioni) e procedendo come hai fatto tu per il punto 2.
ma se A1,...,An sono linearmente dipendenti (cioè se n>m), non posso usare nella dimostrazione X=0,0,0..
cioè riesco a farlo se intendo "insieme delle soluzioni" come insieme delle X, e non X come spazio vettoriale insieme delle soluzioni
Ciao
Allora dobbiamo metterci d'accordo sulle notazioni, tu per $x_i$ intendi un vettore? Oppure intendi la componente $i-$esima di un vettore $x = (x_1, ..., x_n)$?
Non ho capito nulla, potresti spiegarti meglio? Magari dicendo bene con cosa stiamo lavorando? Perché adesso salta fuori che anche gli $A_i$ sono vettori
I possibili set di cosa?
Chiariamo prima questi punti:
1)Cosa sono $A_1, ..., A_n$? Sono vettori?
2)Cosa sono $x_1, ..., x_n$? Sono vettori o sono scalari?
3)Cosa intendi per $X$?
Cioè io pensavo a X come spazio vettoriale costituito da n elementi x1,...,xn.
Allora dobbiamo metterci d'accordo sulle notazioni, tu per $x_i$ intendi un vettore? Oppure intendi la componente $i-$esima di un vettore $x = (x_1, ..., x_n)$?
cioè tu mi stai dicendo che devo sommare a un xi che fa parte di una combinazione tale che il sistema sia di equazioni omogenee, un xi che faccia parte non della stessa combinazione, ma di un'altra sempre fatta in modo che il sistema sia costituito da equazioni che abbiano gli stessi vettori $A1,...,An$ e che siano omogenee. O magari la combinazione è unica, quello è solo il modo di dimostrarlo. noto che sommo sempre $x1$ con $x1$ e non per esempio$ x1$ con $ x2$
Non ho capito nulla, potresti spiegarti meglio? Magari dicendo bene con cosa stiamo lavorando? Perché adesso salta fuori che anche gli $A_i$ sono vettori
A meno che per $ X $ isieme di soluzioni non si intendano tutti i possibili set
I possibili set di cosa?
Chiariamo prima questi punti:
1)Cosa sono $A_1, ..., A_n$? Sono vettori?
2)Cosa sono $x_1, ..., x_n$? Sono vettori o sono scalari?
3)Cosa intendi per $X$?
"Shocker":
Chiariamo prima questi punti:
1)Cosa sono $A_1, ..., A_n$? Sono vettori?
2)Cosa sono $x_1, ..., x_n$? Sono vettori o sono scalari?
3)Cosa intendi per $X$?
io penso che:
$A^1,...,A^n$ sono vettori colonna di dimensione $m$ (numero delle righe)
$ x_1,...,x_n$ sono scalari
$X = < x_1,...,x_n>$ è una n-upla
Ok, perfetto.
Allora tu hai la seguente equazione vettoriale: $x_1*A_1 + ... + x_n*A_n = 0$, con $x_1, ..., x_n \in \mathbb{K}$ e $A_1, ..., A_n$ vettori colonna, devi dimostrare che l'insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K^n}$.
Sia $W = {(x_1, ..., x_n) \in \mathbb{K^n} | x_1*A_1 + ... + x_n*A_n = 0}$ l'insieme delle soluzioni dell'equazione, osserva che la $n-$upla $(0, ..., 0)$ è soluzione dell'equazione e dunque il vettore nullo di $\mathbb{K^n}$ appartiene a $W$, adesso considera $x = (x_1, ..., x_n), y = (y_1, ..., y_n) \in \mathbb{W}$, per dimostrare che $x+y \in W$(cioè è una soluzione) basta sostituire tutto nell'equazione: $(x_1 + y_1)A_1 + ... + (x_n + y_n)A_n = 0$ da cui $(x_1A_1 + ... + x_nAn) + (y_1A_1 + ... +y_nAn) = 0$. Idem per $\lambda*x$ con $\lambda in \mathbb{K}$ e $x in W$.
Chiaramente dato che $W$ è un sottospazio di $\mathbb{K^n}$ allora è anche uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.
Chiaro?
Allora tu hai la seguente equazione vettoriale: $x_1*A_1 + ... + x_n*A_n = 0$, con $x_1, ..., x_n \in \mathbb{K}$ e $A_1, ..., A_n$ vettori colonna, devi dimostrare che l'insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{K^n}$.
Sia $W = {(x_1, ..., x_n) \in \mathbb{K^n} | x_1*A_1 + ... + x_n*A_n = 0}$ l'insieme delle soluzioni dell'equazione, osserva che la $n-$upla $(0, ..., 0)$ è soluzione dell'equazione e dunque il vettore nullo di $\mathbb{K^n}$ appartiene a $W$, adesso considera $x = (x_1, ..., x_n), y = (y_1, ..., y_n) \in \mathbb{W}$, per dimostrare che $x+y \in W$(cioè è una soluzione) basta sostituire tutto nell'equazione: $(x_1 + y_1)A_1 + ... + (x_n + y_n)A_n = 0$ da cui $(x_1A_1 + ... + x_nAn) + (y_1A_1 + ... +y_nAn) = 0$. Idem per $\lambda*x$ con $\lambda in \mathbb{K}$ e $x in W$.
Chiaramente dato che $W$ è un sottospazio di $\mathbb{K^n}$ allora è anche uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.
Chiaro?
grazie!! 
Credo mi chiedessi:
Se $A1, .., An$ fossero linearmente indipendenti, la $n-upla 0,..,0$ sarebbe l'unica soluzione dell'equazione
E poi ho forse un altro dubbio ancora
Nono, capito!
Credo mi chiedessi:
Se $A1, .., An$ fossero linearmente indipendenti, la $n-upla 0,..,0$ sarebbe l'unica soluzione dell'equazione
E poi ho forse un altro dubbio ancora
Nono, capito!
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