Equazioni generiche di rette e piani
Ciao a tutti ho dei problemi a capire e risolvere questi due esercizi:
1-Una retta è ortogonale al piano quando il prodotto scalare tra i vettori direttori della retta e del piano è uguale a 0 giusto?
Il vettore direttore del piano sarebbe $\vecw=(1,-1,-3)$ mentre l'equazione della retta in forma parametrica è:
$r: \{(x=x_0 + v_1t),(y=y_0 + v_2t),(z=z_0 + v_3t):}$
Non capisco cosa devo fare e come agire.. dovrei prendere un punto generico $P=(x_0,y_0,z_0)$ e assegnare i valori nell'equazione parametrica? Poi ricavare un vettore direttore della retta $\vecv : = v_1*1 + v_2*-1 + v_3*-3 = 0$ ?
Stesso problema con il 2 punto, non so come agire, la teoria diciamo che la so ma non capisco come applicarla..Grazie a chi potrà aiutarmi
1-Scrivere le equazioni parametriche della generica retta di $E^3$ ortogonale al piano $x-y-3z=1$
2-Scrivere l'equazione cartesiana del generico piano di $E^3$ parallelo al piano $x-y-3z=1$
1-Una retta è ortogonale al piano quando il prodotto scalare tra i vettori direttori della retta e del piano è uguale a 0 giusto?
Il vettore direttore del piano sarebbe $\vecw=(1,-1,-3)$ mentre l'equazione della retta in forma parametrica è:
$r: \{(x=x_0 + v_1t),(y=y_0 + v_2t),(z=z_0 + v_3t):}$
Non capisco cosa devo fare e come agire.. dovrei prendere un punto generico $P=(x_0,y_0,z_0)$ e assegnare i valori nell'equazione parametrica? Poi ricavare un vettore direttore della retta $\vecv :
Stesso problema con il 2 punto, non so come agire, la teoria diciamo che la so ma non capisco come applicarla..Grazie a chi potrà aiutarmi
Risposte
"Froz3n":
1-Scrivere le equazioni parametriche della generica retta di $ E^3 $ ortogonale al piano $ x-y-3z=1 $
1-Una retta è ortogonale al piano quando il prodotto scalare tra i vettori direttori della retta e del piano è uguale a 0 giusto?
Il vettore direttore del piano sarebbe $ \vecw=(1,-1,-3) $ mentre l'equazione della retta in forma parametrica è:
$ r: \{(x=x_0 + v_1t),(y=y_0 + v_2t),(z=z_0 + v_3t):} $
Intanto, per comodità consideriamo il punto $(x_o,y_o,z_o)=(0,0,0)$
Inoltre un piano non ha vettore direttore ma solo vettore normale!!!!!!!!!
Quindi cercare la retta parametrica ortogonale piano $pi: x-y-3z=1$ equivale
a cercare una retta tale che abbia vettore direttore parallelo al vettore normale al piano
a cercare una retta tale che abbia vettore direttore parallelo al vettore normale al piano
cioè una retta che abbia come vettore direttore un multiplo di $(1,-1,-3)$. L'equazione è così trovata.
"Froz3n":2-Scrivere l'equazione cartesiana del generico piano di $ E^3 $ parallelo al piano $ x-y-3z=1 $
Questo prova a farlo tu ora!
P.S. per le prime volte conviene sempre fare un abbozzo grafico degli enti geometrici che si hanno e di quello che si deve trovare
1- Ok quindi il vettore del piano in parole semplici ci da tutte le rette ortogonali a quel piano, avente vettore direttore della retta parallelo (cioè proporzionale) al vettore del piano? Quindi una retta in forma parametrica di questo tipo va bene?
$r : \{(x=x_0 +1t),(y=y_0-1t),(z=z_0-3t):}$
2- Scrivere l'equazione cartesiana del generico piano di $E^3$ parallelo al piano $ x−y−3z=1$
L'equazione generica del piano è $ \pi : ax+by+cz+d=0$ e per ottenere un piano parallelo a quello dato posso usare il fascio improprio che mi da tutti i piani paralleli?
Quindi: $\pi^{\prime} : ax+by+cz+k=0 \Leftrightarrow \pi^{\prime} : x-y-3z=3 $ ?
$r : \{(x=x_0 +1t),(y=y_0-1t),(z=z_0-3t):}$
2- Scrivere l'equazione cartesiana del generico piano di $E^3$ parallelo al piano $ x−y−3z=1$
L'equazione generica del piano è $ \pi : ax+by+cz+d=0$ e per ottenere un piano parallelo a quello dato posso usare il fascio improprio che mi da tutti i piani paralleli?
Quindi: $\pi^{\prime} : ax+by+cz+k=0 \Leftrightarrow \pi^{\prime} : x-y-3z=3 $ ?
"Froz3n":
1- Ok quindi il vettore normale del piano in parole semplici ci da tutte le rette ortogonali a quel piano, avente vettore direttore della retta parallelo (cioè proporzionale) al vettore normale del piano?
"Froz3n":
Quindi una retta in forma parametrica di questo tipo va bene?
$ r : \{(x=x_0 +1t),(y=y_0-1t),(z=z_0-3t):} $
E $(x_o,y_o,z_o)=?$
"Froz3n":
2- Scrivere l'equazione cartesiana del generico piano di $ E^3 $ parallelo al piano $ x−y−3z=1 $
L'equazione generica del piano è $ \pi : ax+by+cz+d=0 $ e per ottenere un piano parallelo a quello dato posso usare il fascio improprio che mi da tutti i piani paralleli?
Quindi: $ \pi^{\prime} : ax+by+cz+k=0 \Leftrightarrow \pi^{\prime} : x-y-3z=3 $ ?
Sì, un esempio immediato di piano parallelo è la giacitura, senza dover fare nessun calcolo $pi' : x-y-3z=0$
"Magma":
[quote="Froz3n"]1- Ok quindi il vettore normale del piano in parole semplici ci da tutte le rette ortogonali a quel piano, avente vettore direttore della retta parallelo (cioè proporzionale) al vettore normale del piano?
"Froz3n":
Quindi una retta in forma parametrica di questo tipo va bene?
$ r : \{(x=x_0 +1t),(y=y_0-1t),(z=z_0-3t):} $
E $(x_o,y_o,z_o)=?$
"Froz3n":
2- Scrivere l'equazione cartesiana del generico piano di $ E^3 $ parallelo al piano $ x−y−3z=1 $
L'equazione generica del piano è $ \pi : ax+by+cz+d=0 $ e per ottenere un piano parallelo a quello dato posso usare il fascio improprio che mi da tutti i piani paralleli?
Quindi: $ \pi^{\prime} : ax+by+cz+k=0 \Leftrightarrow \pi^{\prime} : x-y-3z=3 $ ?
Sì, un esempio immediato di piano parallelo è la giacitura, senza dover fare nessun calcolo $pi' : x-y-3z=0$
[/quote]Grazie per i chiarimenti
1-$(x_o,y_o,z_o)=?$ sono valori generici no? Potrei prendere ad esempio un punto $P=(0,2,3)$ e andarlo a sostituire nella retta no?
2-Infatti non ho fatto nessun calcolo ho assegnato a $k$ un valore a caso dato che i piani sono paralleli
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo