Equazioni con matrici

[Naraku93]

Salve ragazzi, ho un problem con questo esercizio di algebra linere:
Date le seguenti due matrici simili:
$ A = ((2,-9,-15),(0,-1,0),(0,0,-1))$

$ B = ((2,1,0),(0,-1,0),(0,0,-1))$

Determinare una matrice H tale che $A = H^-1BH$

Come poter svolgere questo esercizio?
Da quel che ho capito devo trovare una matrice di cambiamento di base da B ad A, ma come procedere non avendo nessuna delle due basi?
L'unico punto in comune che mi posso calcolare tra le due matrici è:
$HA^−1*A*HA = HB^−1*B*HB $
Dove HA e HB sono le matrici relative gli autospazi di A e di B.
Partendo da questa equazione, come posso arrivare alla soluzione? Grazie.

[cooper1]

cosa c'entrano gli autospazi? H è la matrice che invertibile che ti permette di concludere che A e B sono simili (definizione di similitudine tra matrici). per risolvere l'esercizio io moltiplicherei a sinistra di entrambi i membri per H così da avere $HA=BH$
ora si tratta di risolvere un sistema: scrivi le entrate della matrice H come incognite, moltiplichi tra di loro le matrici ed imponi le uguaglianze per rendere vera l'equazione matriciale

[Studente Anonimo]

Visto che, essendo le matrici triangolari, il calcolo degli autovalori e degli autovettori è piuttosto agevole, ho l'impressione che si richiedesse un procedimento come quello sottostante:

Matrice $A$

$A=[(2,-9,-15),(0,-1,0),(0,0,-1)]$

Autovalori e autovettori

$[\lambda=2] ^^ vecv=[(\alpha),(0),(0)] ^^$ Rappresentante: $[(1),(0),(0)]$

$[\lambda=-1] ^^ vecv=[(\alpha),(\beta),(1/5\alpha-3/5\beta)] ^^$ Rappresentanti: $[(5),(0),(1)] [(0),(5),(-3)]$

Matrice del cambiamento di base dalla base spettrale alla base naturale

$C_A=[(1,5,0),(0,0,5),(0,1,-3)]$

Matrice $B$

$B=[(2,1,0),(0,-1,0),(0,0,-1)]$

Autovalori e autovettori

$[\lambda=2] ^^ vecv=[(\alpha),(0),(0)] ^^$ Rappresentante: $[(1),(0),(0)]$

$[\lambda=-1] ^^ vecv=[(\alpha),(-3\alpha),(\beta)] ^^$ Rappresentanti: $[(1),(-3),(0)] [(0),(0),(1)]$

Matrice del cambiamento di base dalla base spettrale alla base naturale

$C_B=[(1,1,0),(0,-3,0),(0,0,1)]$

Matrice $H$

$H=C_BC_A^-1=[(1,1,0),(0,-3,0),(0,0,1)][(1,5,0),(0,0,5),(0,1,-3)]^(-1)=[(1,1,0),(0,-3,0),(0,0,1)][(1,-3,-5),(0,3/5,1),(0,1/5,0)]=[(1,-12/5,-4),(0,-9/5,-3),(0,1/5,0)]$

Verifica

$[A=H^-1BH] rarr [HA=BH]$

$HA=[(1,-12/5,-4),(0,-9/5,-3),(0,1/5,0)][(2,-9,-15),(0,-1,0),(0,0,-1)]=[(2,-33/5,-11),(0,9/5,3),(0,-1/5,0)]$

$BH=[(2,1,0),(0,-1,0),(0,0,-1)][(1,-12/5,-4),(0,-9/5,-3),(0,1/5,0)]=[(2,-33/5,-11),(0,9/5,3),(0,-1/5,0)]$