Equazioni cartesiane sottospazio

[jitter1]

Devo scrivere le equazioni cartesiane del sottospazio W = <(2,0,2),(2,1,1)> (che nel caso dell'esercizio è lo spazio immagine di un'applicazione lineare F).

1) Ho fatto così:

W={(2a + 2b, b, 2a + b)}

Lavorando sui parametri a e b,

$ { ( x =2a+2b ),( y=b ),( z=2a+b):} $

$ { ( 2a= x-2b ),( y=b ),( z=x -b):} $

$x - y - z = 0$

2) Invece lo svolgimento indicato nella dispensa è: "Un vettore ortogonale a entrambi [n.d.j: entrambi i vettori della base indicata per il sottospazio] è (1, -1,-1) , quindi ImF è il piano di equazione cartesiana x - y - z = 0".

Non ho capito... in particolare non capisco il collegamento tra le equazioni cartesiane di un sottospazio e il vettore ortogonale. Qualcuno mi potrebbe spiegare questo fatto?

[anonymous_af8479]

W e' un piano passante per O. Un piano passante per O e' il luogo dei vettori ortogonali ad un dato vettore. Il prodotto vettoriale de due vettori di base di W e' ortogonale a tutti i vettori di W...

[jitter1]

Grazie per l'aiuto Arrigo! Purtroppo però non riesco ancora a capire, ops

"anonymous_af8479":W e' un piano passante per O.

Ok, qui ci sono (un sottospazio vettoriale può essere considerato come sottospazio affine passante per l'origine).

"anonymous_af8479":Un piano passante per O e' il luogo dei vettori ortogonali ad un dato vettore. Il prodotto vettoriale de due vettori di base di W e' ortogonale a tutti i vettori di W...

Non riesco a collegare questi concetti con quello che sto cercando (le equazioni cartesiane)....

[anonymous_af8479]

Se fai il prod vett fra i due vettori della base di W trovi il vettore $v =(-2,2,2)$. Il luogo dei vettori ortogonali a v e' W stesso. Come si trova l'eq cartesiana di W? Basta fare il prodotto scalare $=0$ ovvero si ricava $-2x+2y+2z=0$ ovvero $x-y-z=0$.

[jitter1]

Adesso ho capito Grazie ancora!