Equazioni cartesiane immagine
$L:\RR^2->\RR^3$
$L((x),(y))=((x+y),(-x),(-y))$ devo determinare le equazioni cartesiane di L. Come faccio?
Ho scritto la matrice A rispetto alle basi canoniche
$A=((1,1),(-1,0),(0,-1))$ e vedo che le colonne $A^1, A^2$ sono linearmente indipendenti, quindi il rango di A è 2 e di conseguenza è 2 anche la dimensione di ImL
$L((x),(y))=((x+y),(-x),(-y))$ devo determinare le equazioni cartesiane di L. Come faccio?
Ho scritto la matrice A rispetto alle basi canoniche
$A=((1,1),(-1,0),(0,-1))$ e vedo che le colonne $A^1, A^2$ sono linearmente indipendenti, quindi il rango di A è 2 e di conseguenza è 2 anche la dimensione di ImL
Risposte
Questo lo posso fare sempre? Anche se dovessi cercare le equazioni di $Ker(L)$?
Ho seguito il tuo metodo su un altro esercizio. $L:\RR^2->\RR^3$
$L((x),(y))=((x+y),(x+y),(2y))$
$\{(x'=x+y),(y'=x+y),(z'=2y):}$
$x'+y'+z'=x+y+x+y+2y=2x+4y$
Mentre nella soluzione mi da $x-y=0$
Ho sbagliato qualcosa?
Ho seguito il tuo metodo su un altro esercizio. $L:\RR^2->\RR^3$
$L((x),(y))=((x+y),(x+y),(2y))$
$\{(x'=x+y),(y'=x+y),(z'=2y):}$
$x'+y'+z'=x+y+x+y+2y=2x+4y$
Mentre nella soluzione mi da $x-y=0$
Ho sbagliato qualcosa?
Un metodo generale?
@Shika93,
dai dati ottieni ovviamente \( \operatorname{im}(L)=\mathscr{L}((1,-1,0),(1,0,-1)) \)...
io ne uso uno che è lo stesso che si usa nel caso della geometria affine (e mai ho sbagliato
), ovvero ti costruisci la matrice $( (1,1,x_1),(-1,0,x_2),(0,-1,x_3))$ parti da un minore non nullo di ordine due (dato che \( \dim_\Bbb{R}(\operatorname{im}(L))=2 \)), per esempio $( (1,1),(-1,0))$ e ti costruisci il sistema lineare $ { \det( (1,1,x_1),(-1,0,x_2),(0,-1,x_3))=0:}$ come vedi $\det( (1,1,x_1),(-1,0,x_2),(0,-1,x_3))=x_1+x_2+x_3$ e quindi le cartesiane sono $ {x_1+x_2+x_3=0:}$
Saluti
P.S.=QUI vi trovi un'altra applicazione
"Shika93":
$L:\RR^2->\RR^3$
$L((x),(y))=((x+y),(-x),(-y))$ devo determinare le equazioni cartesiane di L. Come faccio?
Ho scritto la matrice A rispetto alle basi canoniche
$A=((1,1),(-1,0),(0,-1))$ e vedo che le colonne $A^1, A^2$ sono linearmente indipendenti, quindi il rango di A è 2 e di conseguenza è 2 anche la dimensione di ImL
dai dati ottieni ovviamente \( \operatorname{im}(L)=\mathscr{L}((1,-1,0),(1,0,-1)) \)...
"Shika93":
Un metodo generale?
io ne uso uno che è lo stesso che si usa nel caso della geometria affine (e mai ho sbagliato
), ovvero ti costruisci la matrice $( (1,1,x_1),(-1,0,x_2),(0,-1,x_3))$ parti da un minore non nullo di ordine due (dato che \( \dim_\Bbb{R}(\operatorname{im}(L))=2 \)), per esempio $( (1,1),(-1,0))$ e ti costruisci il sistema lineare $ { \det( (1,1,x_1),(-1,0,x_2),(0,-1,x_3))=0:}$ come vedi $\det( (1,1,x_1),(-1,0,x_2),(0,-1,x_3))=x_1+x_2+x_3$ e quindi le cartesiane sono $ {x_1+x_2+x_3=0:}$Saluti
P.S.=QUI vi trovi un'altra applicazione
Ho capito il tuo procedimento, però se la matrice associata non è più quadrata non la posso fare...Il determinante non glielo posso calcolare, no? Mi sfugge solo il perchè devo calcolare il determinante della norma della matrice...
Per esempio la matrice $((1,0,1,x_1),(1,1,0,x_2),(0,-1,1,x_3))$ devo per forza diagonalizzare come nel link che mi hai detto? Mai fatta una diagonalizzazione per ora e non ho idea di come si faccia...La prof a lezione la faceva ad occhio senza spiegare mai come facesse e non l'ho mai capita xD
Per esempio la matrice $((1,0,1,x_1),(1,1,0,x_2),(0,-1,1,x_3))$ devo per forza diagonalizzare come nel link che mi hai detto? Mai fatta una diagonalizzazione per ora e non ho idea di come si faccia...La prof a lezione la faceva ad occhio senza spiegare mai come facesse e non l'ho mai capita xD
@Shika93,
mi sono perso qualcosa?..
si certo, il determinante di una matrice rettangolare non è definito.. ma non c'entra nulla, nel link che ti ho dato trovi tale metodo applicato al particolare caso di una matrice rettangolare.. insomma, non mi sembra che tu hai capito!
il determinante di chi?
nel link che ti ho dato non uso certo la diagonalizzazione di una matrice... ti ho linkato una serie di risposte per il calcolo delle cartesiane.. non capisco cosa vuoi di preciso!
Saluti
"Shika93":
Ho capito il tuo procedimento, però se la matrice associata non è più quadrata non la posso fare...Il determinante non glielo posso calcolare, no? Mi sfugge solo il perchè devo calcolare il determinante della norma della matrice...
Per esempio la matrice $((1,0,1,x_1),(1,1,0,x_2),(0,-1,1,x_3))$ devo per forza diagonalizzare come nel link che mi hai detto? Mai fatta una diagonalizzazione per ora e non ho idea di come si faccia...La prof a lezione la faceva ad occhio senza spiegare mai come facesse e non l'ho mai capita xD
mi sono perso qualcosa?..
"Shika93":
Ho capito il tuo procedimento, però se la matrice associata non è più quadrata non la posso fare...Il determinante non glielo posso calcolare, no?
si certo, il determinante di una matrice rettangolare non è definito.. ma non c'entra nulla, nel link che ti ho dato trovi tale metodo applicato al particolare caso di una matrice rettangolare.. insomma, non mi sembra che tu hai capito!
"Shika93":
Mi sfugge solo il perchè devo calcolare il determinante della norma della matrice...
il determinante di chi?
"Shika93":
Per esempio la matrice $((1,0,1,x_1),(1,1,0,x_2),(0,-1,1,x_3))$ devo per forza diagonalizzare come nel link che mi hai detto? Mai fatta una diagonalizzazione per ora e non ho idea di come si faccia...La prof a lezione la faceva ad occhio senza spiegare mai come facesse e non l'ho mai capita xD
nel link che ti ho dato non uso certo la diagonalizzazione di una matrice... ti ho linkato una serie di risposte per il calcolo delle cartesiane.. non capisco cosa vuoi di preciso!
Saluti
"garnak.olegovitc":
@Shika93,
[quote="Shika93"]Ho capito il tuo procedimento, però se la matrice associata non è più quadrata non la posso fare...Il determinante non glielo posso calcolare, no?
si certo, il determinante di una matrice rettangolare non è definito.. ma non c'entra nulla, nel link che ti ho dato trovi tale metodo applicato al particolare caso di una matrice rettangolare.. insomma, non mi sembra che tu hai capito!
[/quote]
Per le equazioni dell'immagine avete diagonalizzato la matrice e trovato l'equazione nell'elemento 33 della matrice. Per il nucleo avete considerato la base del nucleo e un vettore di tre elementi e calcolato i determinanti di ordine 2
"garnak.olegovitc":
[quote="Shika93"] Mi sfugge solo il perchè devo calcolare il determinante della norma della matrice...
il determinante di chi?
[/quote]Per me i due moduli sulla matrice rappresentano la norma...Non ho detto che avesse senso calcolare il determinante della norma...
@Shika93,
io non uso le parentesi tonde perchè sono stato abituato in questo modo, ma non perchè mi riferisco alla norma.. Aldilà della notazione, almeno sai cos'è una norma visto che la citi con tanta libertà?
Non lo dici ma lo scrivi...!!
Saluti
P.S.=Modifico il mio precedente messaggio per cercare di seguire il tuo pensiero!
"Shika93":
Per me i due moduli sulla matrice rappresentano la norma...
io non uso le parentesi tonde perchè sono stato abituato in questo modo, ma non perchè mi riferisco alla norma.. Aldilà della notazione, almeno sai cos'è una norma visto che la citi con tanta libertà?
"Shika93":
Non ho detto che avesse senso calcolare il determinante della norma...
Non lo dici ma lo scrivi...!!
Saluti
P.S.=Modifico il mio precedente messaggio per cercare di seguire il tuo pensiero!
"garnak.olegovitc":
@Shika93,
[quote="Shika93"]
Per me i due moduli sulla matrice rappresentano la norma...
io non uso le parentesi tonde perchè sono stato abituato in questo modo, ma non perchè mi riferisco alla norma.. Aldilà della notazione, almeno sai cos'è una norma visto che la citi con tanta libertà?
[/quote]Penso di aver capito. Cerco un altro esercizio con una richiesta simile e applico questo metodo e vediamo se torna il risultato.
La norma comunque è la lunghezza di un vettore in uno spazio vettoriale, tipo il teorema di pitagora.
$X=(x_1,x_2,...,x_n), ||X||=sqrt(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)$
@Shika93,
quella che dici tu è una particolare norma, si chiama "norma euclidea (o: pitagorica)".. in generale nei miei studi ho visto la norma di un vettore \( v \) da prodotto scalare \(\mathfrak{f} \) (o: forma bilineare simmetrica definita positiva) come \( ||v ||= \sqrt{\mathfrak{f}((v,v))} \), o nella scrittura più familiare, indicando \( \mathfrak{f}((v,v))= \), avremo \( ||v||=\sqrt{}\)..
Nel tuo caso il prodotto scalare è \(=x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+...+x_n\cdot y_n \), detto prodotto scalare standard, è facile vedere che \( \displaystyle =\sum_{i=0}^nx_i^2 \), e la norma diventa quella che hai scritto ovvero \( \displaystyle ||X||=\sqrt{\sum_{i=0}^nx_i^2} \)...
Saluti
P.S.= Per curiosità che facoltà frequenti? Non vorrei esser andato oltre con il tuo studio! Ti ricordo anche che la norma è un elemento di un campo ordinato completo secondo Dedekind, ovvero \( \Bbb{R} \) per dirla in parole semplici.. ma preferisco dire/usare \( \Bbb{R}^1 \) (anche se forse qualcuno mi bacchetterà per una simile scelta 
)!!
"Shika93":
La norma comunque è la lunghezza di un vettore in uno spazio vettoriale, tipo il teorema di pitagora.
$X=(x_1,x_2,...,x_n), ||X||=sqrt(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)$
quella che dici tu è una particolare norma, si chiama "norma euclidea (o: pitagorica)".. in generale nei miei studi ho visto la norma di un vettore \( v \) da prodotto scalare \(\mathfrak{f} \) (o: forma bilineare simmetrica definita positiva) come \( ||v ||= \sqrt{\mathfrak{f}((v,v))} \), o nella scrittura più familiare, indicando \( \mathfrak{f}((v,v))=
Nel tuo caso il prodotto scalare è \(
Saluti
P.S.= Per curiosità che facoltà frequenti? Non vorrei esser andato oltre con il tuo studio!
Ti ricordo anche che la norma è un elemento di un campo ordinato completo secondo Dedekind, ovvero \( \Bbb{R} \) per dirla in parole semplici.. ma preferisco dire/usare \( \Bbb{R}^1 \) (anche se forse qualcuno mi bacchetterà per una simile scelta )!!
"garnak.olegovitc":
@Shika93,
[quote="Shika93"]
La norma comunque è la lunghezza di un vettore in uno spazio vettoriale, tipo il teorema di pitagora.
$X=(x_1,x_2,...,x_n), ||X||=sqrt(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)$
quella che dici tu è una particolare norma, si chiama "norma euclidea (o: pitagorica)".. in generale nei miei studi ho visto la norma di un vettore \( v \) da prodotto scalare \(\mathfrak{f} \) (o: forma bilineare simmetrica definita positiva) come \( ||v ||= \sqrt{\mathfrak{f}((v,v))} \), o nella scrittura più familiare, indicando \( \mathfrak{f}((v,v))=
Nel tuo caso il prodotto scalare è \(
Saluti
P.S.= Per curiosità che facoltà frequenti? Non vorrei esser andato oltre con il tuo studio!
Ti ricordo anche che la norma è un elemento di un campo ordinato completo secondo Dedekind, ovvero \( \Bbb{R} \) per dirla in parole semplici.. ma preferisco dire/usare \( \Bbb{R}^1 \) (anche se forse qualcuno mi bacchetterà per una simile scelta )!![/quote]Avevo visto altre versioni su wikipedia. Di solito usiamo la norma euclidea e quella col prodotto scalare ora che ci penso.
Usata per lo più ad analisi 2 quando facevamo gli integrali di superficie .
Faccio ingegneria elettronica (2° anno). Considera che sto studiando geometria adesso dopo essermela lasciata alle spalle per un anno e mezzo xD
@Shika93,
capisco, nelle facoltà di ing. in effetti tutta sta roba in particolare le "applicazioni bilineari" non vengono sempre affrontate..
Saluti
"Shika93":
Avevo visto altre versioni su wikipedia. Di solito usiamo la norma euclidea e quella col prodotto scalare ora che ci penso.
Usata per lo più ad analisi 2 quando facevamo gli integrali di superficie .
Faccio ingegneria elettronica (2° anno). Considera che sto studiando geometria adesso dopo essermela lasciata alle spalle per un anno e mezzo xD
capisco, nelle facoltà di ing. in effetti tutta sta roba in particolare le "applicazioni bilineari" non vengono sempre affrontate..
Saluti
Considerando che erano 4 ore la settimana (6 crediti), il programma di geometria e algebra è immenso
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