Equazioni Cartesiane Im e Ker

[Sylent]

Salve ragazzi,

faccio riferimento a questa discussione (equazione-dell-immagine-di-un-applicazione-lineare-t78184.html) per porvi un mio quesito.

Sto svolgendo un compito d'esame e mi chiede di trovare l'equazione cartesiana dell'immagine e l'equazione cartesiana del nucleo.

Vi posto un po' di dati utili del problema:

$M(f)=( ( 2 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 2 ) ) $

Quindi riducendo trovo che il Rango è uguale a 3 e quindi anche la dimensione dell'immagine è uguale a 3.

Una base è formata dai vettori (2,1,1,1), (0,1,1,0), (1,0,0,2)
Quindi (com'è scritto in quel post) per trovare l'equazione cartesiana dell'immagine faccio in questo modo:

$alpha(2,1,1,1)+beta(0,1,1,0)+gamma(1,0,0,2)$
E quindi vedo che y=z => y-z=0

Quindi: $Im(f)={(x,y,z,t)in mathbb(R)^4:y-z=0}$

Ora so le la $dim Kerf=dim mathbb(R)^4-dim Imf=1$

Come faccio a calcolarmi l'equazione cartesiana del nucleo?

[minomic]

Ciao, per prima cosa trovi una base del nucleo di $M$. Anche ad occhio si vede che è costituita dal vettore
\[
\begin{bmatrix}
0\\1\\-1\\0
\end{bmatrix}
\] Da qui puoi procedere come al solito e trovare l'equazione $y+z=0, x=0, t=0$.

[Sylent]

Ciao minomic e grazie per la tua risposta