Equazioni cartesiane e sottospazi vettoriali

[Catanzani1]

Salve a tutti, desideravo chiedervi un consiglio sullo svolgimento di un esercizio;
per non appesantire troppo la scrittura della consegna potete trovare il testo a questo indirizzo: http://imageshack.us/photo/my-images/6/schermata022455973alle2.png/

Il procedimento che ho pensato di seguire è il seguente:
è ovviamente chiaro che la dimensione di entrambi i sottospazi è 2; quindi geometricamente sono 2 piani. Volendo la base della loro intersezione, posso considerare le equazioni cartesiane di entrambe i piani, e intersecarle, in modo tra trovare le coordinate del vettore direttore della retta formata dall'intersezione dei piani stessi.

Vi sembra giusto come procedimento?
Ma nel caso in cui volessi operare invece con le equazioni parametriche?

Vi ringrazio per il tempo.
Distinti saluti

Enrico Catanzani

[bugman]

Si trovare l'intersezione significa trovare quei vettori che appartengono contemporaneamente ad entrambi i sottospazi. Quali procedimento migliore se non quello del sistema con le equazioni cartesiane, che permette di trovare quei vettori nella forma $(x1,x2,x3)$ che soddisfano contemporaneamente la condizione di appartenere ad entrambi gli spazi vettoriali? Il procedimento è giusto per la cartesiana.
Per operare con le parametrice devi trovare i vettori della base di $U$ che chiamo $u1$ e $u2$ e quelli della base di $W$ che sono $w1$ e $w2$. Un vettore generico, che chiameremo $v$ appartiene all'intersezione se appartiene sia ad $U$, ovvero si scrive come combinazione lineare di $w1$ e $w2$, e se appartiene a $W$, ovvero se si scrive come combinazione lineare di $w1$ e $w2$. In formule $v=aw1+bw2$ e $v=cu1+du2$ ($a,b,c,d$ sono parametri). Essendo lo stesso vettore puoi eguagliare le due cose, ovvero $aw1+bw2=cu1+du2$. Da questo sistema ricavi i parametri, li sostituisci nelle combinazioni che hai scritto prima e troverai i vettori dell'intersezione.

[wnvl]

a) Nota che

\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1\\
0\\
2
\end{pmatrix}=\frac{3}{2}\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
1
\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
-1\\
3\\
1
\end{pmatrix} \)

quindi la dimensione di W è 2.

b) l'equazione definente W è

\(\displaystyle \begin{vmatrix}
x_1 & x_2 & x_3\\
1 & -1 & 1\\
-1 & 3 & 1
\end{vmatrix} \)

Spero che puoi continuare ora ...