Equazioni cartesiane di un sottospazio di R4

[alessio_baiocco]

Dovrei trovare l'equazioni che descrivono il sottospazio V di $ R^4 $ generato da $ {(1,0,0,4),(2,1,3,2),(1,5,6,0)} $ che ho controllato, formano una base di V. Essendo V di dimV=3, dovremmo in teoria avere n-dimV=1 equazioni che descrivano V.
Però non riesco a trovarle, poichè con l'eliminazione di Gauss imponendo che il rango di A (=3) sia uguale al rango di B...
$ A=( ( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 1 , 5 ),( 0 , 3 , 6 ),( 4 , 2 , 0 ) ) $ , $ B=( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 3 , 6 , z ),( 4 , 2 , 0 , w ) ) $
viene questo:
$ ( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 3 , 6 , z ),( 0 , 0 , 8 , w-4x+2z ) ) $
che non posso utilizzare...
Ho sbagliato qualcosa/devo provare altri metodi?

[cooper1]

premettendo che non ho capito come hai ridotto (mi sembra sia sbagliata ma magari sono solo io che non vedo le combinazioni che hai usato), perchè fermarsi? la matrice incompleta A non è ancora ridotta: continua fino a quando non hai una matrice triangolare.

[alessio_baiocco]

Ho fatto: R4-4R1, poi R4+2R3 (R=riga).
Da qui non so come continuare... nel senso che non so come togliere l'8 all'ultima riga, ogni tentativo non me lo fa togliere.
Ma magari è tutto sbagliato dal principio, tu come faresti?

[cooper1]

non mi sembra tu ottenga quella matrice con quei passi. il metodo comunque è giusto, ma secondo me non sai come si riduce con Gauss. faccio come avrei fatto io:
$
( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 3 , 6 , z ),( 4 , 2 , 0 , w ) ) ->( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 3 , 6 , z ),( 0 , 6 , 4 , 4x-w ) ) ->( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 9 , 9 , 3y-z ),( 0 , 0 , 26 , 6y-4x+w ) ) ->
->( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 0 , 9 , 3y-z ),( 0 , 0 , 0 , 72y-26/9z+4x-w ) )
$
per esempio nella prima $->$ ho fatto $4R_1-R_4$ e nella seconda $3R_2-R_3$ così da costruirmi tutti zeri sotto i primi elementi non nulli di tutte le righe
quindi l'equazione cercata è $72y-26/9z+4x-w=0$

[alessio_baiocco]

A posto grazie mille, infatti ho non poca difficoltà a collegare i passaggi per Gauss.

[Naraku93]

"cooper":non mi sembra tu ottenga quella matrice con quei passi. il metodo comunque è giusto, ma secondo me non sai come si riduce con Gauss. faccio come avrei fatto io:
$
( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 3 , 6 , z ),( 4 , 2 , 0 , w ) ) ->( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 3 , 6 , z ),( 0 , 6 , 4 , 4x-w ) ) ->( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 9 , 9 , 3y-z ),( 0 , 0 , 26 , 6y-4x+w ) ) ->
->( ( 1 , 2 , 1 , x ),( 0 , 1 , 5 , y ),( 0 , 0 , 9 , 3y-z ),( 0 , 0 , 0 , 72y-26/9z+4x-w ) )
$
per esempio nella prima $->$ ho fatto $4R_1-R_4$ e nella seconda $3R_2-R_3$ così da costruirmi tutti zeri sotto i primi elementi non nulli di tutte le righe
quindi l'equazione cercata è $72y-26/9z+4x-w=0$

Ciao Cooper, ti posso chiedere come sei arrivato quel risultato?
Io sono arrivato a questo punto:
$((1,2,1,x),(0,1,5,y),(0,0,-9,z-3y),(0,0,26,t-4x+6y))$
Adesso dovrei sommare l'ultima riga con la penultima moltiplicata per 26/9, ma comunque non riesco ad arrivare a 72y

[Cantor99]

Non è piu facile procedere con il teorema degli orlati?

Deve risultare $rank(B)=3$ e il minore di ordine 3
$((0,1,5),(0,3,6),(4,2,0))$
è non nullo. L'unico suo orlato è $B$ e quindi deve risultare $det(B)=0$. Sviluppi quel determinante e hai fatto

[cooper1]

"Naraku93":ma comunque non riesco ad arrivare a 72y

ah sisi non ci arriverai neanche se è per questo cosa esattamente io abbia fatto per far saltar fuori 72 non lo so, però è sbagliato: rifacendo mi viene $8/3$ (ma meglio controllare ).

"Cantor99":Non è piu facile procedere con il teorema degli orlati?

non mi è mai piaciuto e dato che con Gauss arrivo comunque alla fine ho sempre usato lui e mai imparato per bene il teorema degli orlati.