Equazione superficie sferica con centro su un piano

[daniele.maccione]

Determinare l'equazione cartesiana della superficie sferica ∑ tangente al piano a : $ x-y+2z+1=0 $ in C (0,1,0) e avente il centro giacente sul piano ß : $ x+2y-z+1=0 $

Ho provato a ragionare così:
Per trovare l'equazione della sfera servono le coordinate cartesiane del centro e la misura del raggio.
Per calcolare il centro devo passare alla forma parametrica ed individuare le coordinate del centro della sfera in funzione del parametro (una volta fatto, poi non saprei
come andare avanti)
oppure tenendo presente che l'equazione della sfera è $ x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0 $ , mi servono le quattro incognite a,b,c,d.
Ora però non so ricavarle dalle informazioni che mi da l'esercizio.
Come posso procedere?

[killing_buddha]

La retta \(r : \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}\right) + \langle \left(\begin{smallmatrix}1\\-1\\2\end{smallmatrix}\right) \rangle\) interseca $\beta$ in un punto $P$. Questo e' il centro della sfera. Il raggio e' la distanza $PC$. Ora hai tutti i dati per scrivere l'equazione della circonferenza di raggio $R$ e centro $P$,
\[
(X-P_x)^2+(Y-P_y)^2+(Z-P_z)^2=R^2
\]

[daniele.maccione]

Perché la retta ha come vettori colonna prima le coordinate del centro C e poi quelle del piano a?

[killing_buddha]

C non e' il centro, e' il punto dove la sfera tange al piano $a$. $r$ e' la retta che passa per il punto di tangenza, e di direzione ortogonale al piano (i coefficienti di un piano ne determinano la direzione ortogonale, e' pressoche' una tautologia). Le sfere sono caratterizzate univocamente dal fatto che il piano tangente in un loro punto $P$ e' ortogonale al segmento $OP$, se $O$ e' il loro centro. Metti insieme questi pezzi; il resto e' geometria da terza media.