Equazione retta perpendicolare e parallela ad un piano e passante per un punto

[tub1]

Ciao ragazzi,

Ho dei dubbi su questo esercizio:

"Si consideri il piano $ p: x+y-3z=5 $ e il punto $ P(3;-1;2) $ dello spazio ordinario. Determinare:

a) l'equazione della retta perpendicolare a $ p $ passante per $ P $

b) l'equazione di una retta parallela a $ p $ passante per $ P $"

Io ho fatto in questo modo:

a) So che una retta è perpendicolare ad un piano se vale la relazione $ a/l=b/m=c/n $ (considerando la generica equazione del piano: $ ax+by+cz+d=0 $ e $ (l,m,n) $ i coefficienti direttori della retta).

Quindi $ 1/l=1/m=-3/n $, allora fisso $ l=1, m=1, n=-3 $

ottengo così l'equazione parametrica della retta perpendicolare passante per il punto dato, cioè:
$ x=3+t; $
$ y=-1+t; $
$ z=2-3t; $

b) Faccio un procedimento simile sapendo che un piano è parallelo ad una retta se $ al+bm+cn=0 $

Allora $ l+m-3n=0 $

Fisso $ l=1, m=2 $ e ottengo $ n=1 $

Ho così trovato i coefficienti direttori della retta $ (l,m,n)=(1,2,1) $

L'equazione della retta parallela e passante per il punto sarà:
$ x=3+t $
$ y=-1+2t $
$ z=2+t $

E' corretto il procedimento?

Grazie mille

[feddy]

a) è corretto, ma : avresti potuto farlo in 20 secondi
Data l'equazione del piano in forma cartesiana, è immediato verificare che i coefficienti direttori forniscono la direzione di un vettore ortogonale al piano... il tuo procedimento è inutile, e infatti hai ritrovato proprio i valori di $a,b,c$.

Ricorda che per scrivere l'equazione di una retta è sufficiente avere un punto e una direzione (discende dalla definizione di sottovarietà lineare)... il punto ce l'hai, la direzione pure: a) è corretto.

b) ok !

[tub1]

Grazie mille

[feddy]

figurati