Equazione retta passante per due punti

[Shadownet614]

Salve un esercizio mi dice: fissato nello spazio un riferimento c.m.o ( cartesiano monometrico ortogonale) , si considerino la retta r contenente i punti A(1,1,0) , B(3,2,1) e la retta a contenente i punti C(1,-1,0) e D(3,-1,1) .
Stabilire se le rette sono complanari e in caso lo fossero, determinare l equazione del piano che le contiene;
Determinare una rappresentazione cartesiana per la retta passante per P(-1,0,2), ortogonale e incidente r;
Determinare una rappresentazione cartesiana per la retta passante per Q(1,1,3) parallela al piano alfa di equazione 2x+y+z=0 e complanare con la retta r.
Bene io so la formula per calcolare l equazione della retta con due punti p e p' ovvero il determiante di x-x_1 y-y_1 x_2-x_1 y_2-_y_1 e le altre ma sempre con due valori e non tre :/ mi trovo in difficoltá qui, poi sul come calcolare le rappresentazioni non avrei problemi. Scusate se non ho usato mathtext ma con l ipad non me lo fa fare non so perché :/ Grazie
ps: ho provato a trovare r così : vAB(2,1,1)
r:{x=1+2t
Y=1+t
z=t
{x=1+2z
Il punto a risolto mentre per il b e il c non so ma non mi viene , non mi trovo col risultato , cioè quello della rap cartesiana per p e q
y=1+z
{x-2z-1=0
y-z-1=o

[shiva28]

Allora,

calcola le rette in forma parametrica, è molto più comodo.

Chiamo le due rette $r_1(t)$ e $r_2(t)$, con $t in mathbb(R)$.

$r_1(t)=vec(A)+t(vec(B-A))=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )+t \ ( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) ) $

$r_2(t)=vec(C)+t(vec(D-C))=( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )+t \ ( ( 2 ),( 0 ),( 1 ) ) $

Passando dalle equazioni parametriche a quelle cartesiane:

$r_1={ ( x-2z=1 ),( y-z=1 ):} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_2={ ( x-2z=1 ),( y=-1 ):}$

Per vedere se sono complanari basta verificare che siano incidenti almeno in un punto, poni il sistema:

${ ( x-2z=1 ),( y-z=1 ),( y=-1 ),( x-2z=1 ):}\ \ \ \ rArr \ \ \ \ P=( ( -3 ),( -1 ),( -2 ) ) $

Ho trovato un punto in comune per le due rette, quindi esiste un piano $pi$ che le contiene che sarà generato da:

$pi: \ \ Span(vec(d_1),vec(d_2))$
Dove $vec(d_1)$ e $vec(d_2)$ sono le direzioni delle due rette.

$pi: \ \ \ \ ( (x), (y), (z) )= vec(A)+t \ vec(d_1)+s \ vec(d_2)=( (1), (1), (0) )+t \ ( (2), (1), (1) )+s \ ( (2), (0), (1) )$

Dal quale, eliminando i parametri si trova l'equazione del piano $pi: \ \ x-2z=1$


e via così..
E' meglio iniziare con le equazioni parametriche, per poi trovare quelle cartesiane.

Ciao

[Shadownet614]

purtroppo il punto in cui mi dice di trovare l'equazione della retta passante per P(-1,0,2) e ortogonale e incidente con r non mi trovo col risultato dell'esercizio. Io ho svolto facendo così:
r' è la retta da trovare
la retta r trovata nel precedente punto a è: $ {x=1+2t;
y=1+t;
z=t} $

quindi ho calcolato i numeri direttori di r (2,1,1) e calcolato r': $ {x=-1+2t;
y=t;
z=2+t} $ ma non mi trovo perchè dovrebbe essere il risultato di r': $ {2x+y+z=0;
x-2y+1=0} $ mentre a me viene : $ {y-z+2=0;
x-2y-1=0} $