Equazione retta in 3 dimensioni
ciao a tutti 
Data una retta in 3 dimensioni passante per (0,0,0) e due angoli che rappresentano "l'apertura" angolare rispetto agli assi x, z come posso risalire all'equazione della retta?
Data una retta in 3 dimensioni passante per (0,0,0) e due angoli che rappresentano "l'apertura" angolare rispetto agli assi x, z come posso risalire all'equazione della retta?
Risposte
L'equazione generale di una retta passante per il punto $P(x_(0), y_(0), z_(0))$ è ${(x=x_(0)+l t), (y=y_(0)+mt), (z=z_(0)+nt):}$ dove $(l, m, n)$ sono parametri direttori di un vettore parallelo alla direzione della retta. Inoltre dalla definizione di prodotto scalare, dati due arbitrari vettori $vecv_(1)$ e $vecv_(2)$ si ha $vecv_(1)*vecv_(2)=||vecv_(1)|| ||vecv_(2)||costheta$. Nel tuo caso noti i parametri direttori degli assi $x$ e $z$ e gli angoli che questi formano con la retta, imponendo le precedenti condizioni puoi trovare $l$, $m$ e $n$.
Come stabilisco i parametri direttori degli assi x e z? Potrebbero essere i versori?
Sono i cosiddetti coseni direttori, quindi si direi che sono anche le proiezioni su un sistema cartesiano ortonormale destrogiro del versore che indica la direzione della retta stessa. 
Quindi considerando: $vecv_(1)*vecv_(2)=|vecv_(1)|*|vecv_(2)|*cos(theta)$
1) l'angolo $theta$ lo conosco
2) $vecv_(1)$ ad esempio è un versore di componenti $(l',m',n')=(1,0,0)$
3) $vecv_(2)$ è il vettore parallelo alla retta di cui mi servono le componenti $(l,m,n)$
Ho 3 incognite e 2 equazioni in pratica: una per ogni angolo che conosco. Non mi servirebbe una terza equazione?
1) l'angolo $theta$ lo conosco
2) $vecv_(1)$ ad esempio è un versore di componenti $(l',m',n')=(1,0,0)$
3) $vecv_(2)$ è il vettore parallelo alla retta di cui mi servono le componenti $(l,m,n)$
Ho 3 incognite e 2 equazioni in pratica: una per ogni angolo che conosco. Non mi servirebbe una terza equazione?
${(l'=l),(m'=m),(n'=n):}$ quindi:
${(x=x_0+l't),(y=y_0+m't),(z=z_0+n't):}$
Poi bisogna che tu imponga il passaggio per l'origine, ossia che per un dato valore del parametro $t$ i valori di tutte e tre le coordinate siano 0, così trovi l'espressione completa della tua retta...
${(x=x_0+l't),(y=y_0+m't),(z=z_0+n't):}$
Poi bisogna che tu imponga il passaggio per l'origine, ossia che per un dato valore del parametro $t$ i valori di tutte e tre le coordinate siano 0, così trovi l'espressione completa della tua retta...
Ma come fanno ad avere le stesse componenti $vecv_(1)$ e $vecv_(2)$? Hanno direzioni diverse...
Non ho capito come si impone il passaggio per l'origine??
Non ho capito come si impone il passaggio per l'origine??
Ma scusa... come hanno direzioni diverse... 
Sei tu che vuoi imporre che le due rette siano parallele o sbaglio? Quindi se uno è il versore direttore della prima, la seconda deve avere lo stesso versore direttore...
Sei tu che vuoi imporre che le due rette siano parallele o sbaglio? Quindi se uno è il versore direttore della prima, la seconda deve avere lo stesso versore direttore...
Il mio problema è: Trovare l'equzione di una retta dati gli angoli che questa forma con l'asse x e z.
Cerco di aggiustare le cose (per quel che mi riesce)
Sia (l,m,n) il vettore direzionale della retta r cercata ,ed $alpha,beta$ gli angoli,supposti acuti,
che essa forma con gli assi x ed z rispettivamente.
Deve aversi (come gia' indicato da Giuseppe87x);
$l=sqrt(l^2+m^2+n^2)cos alpha$
$n=sqrt(l^2+m^2+n^2)cos beta$
Da qui con qualche calcolo si giunge al sistema:
(1) ${(l^2tan^2alpha-m^2-n^2=0),(l^2+m^2-n^2tan^2beta=0 ):}$
Esso e' un sistema omogeneo nelle 3 incognite $l^2,m^2,n^2$ che ,come e' noto,si
risolve attribuendo a queste incognite i valori ( a segni alterni) dei minori che
si ottengono dalla matrice dei coefficienti cancellando una colonna per volta .
Ora tale matrice e':
$((tan^2alpha,-1,-1),(1,1,-tan^2beta))$ e quindi risulta (dopo qualche passaggio):
$l=+-1/(cosbeta),m=+-sqrt(tan^2alphatan^2beta-1),n=+-1/(cos alpha)$
Accoppiando queste soluzioni negli 8 modi possibili si ottengono 8
diverse rette:
(2)$x/l=y/m=z/n$
Non tutti gli angoli $alpha,beta$ sono pero' ammessi.Per la realita' di m deve aversi:
$tanalphatanbeta>=1$ che si puo' anche scrivere così: $(pi)/2<=alpha+beta
Il sistema (1) ha anche una sua interessante interpretazione geometrica ( che si sarebbe
potuta sfruttare per risolvere il problema per altra via).
Dalle (2) si puo' anche ricavare che:
(3) $l=kx,m=ky,n=kz$ con k coefficiente di proporzionalita' non nullo.
Sostituendo allora le (3) nelle (1) si ottiene un nuovo sistema in x,y,z:
${(x^2tan^2alpha -y^2-z^2=0),(x^2+y^2-z^2tan^2beta=0):}$
Si puo' quindi concludere che le rette richieste sono le (eventuali) intersezioni
di due coni aventi entrambi il vertice nell'origine e le generatrici inclinate sull'asse x
e sull'asse z rispettivamente degli angoli $alpha$ e $beta$ assegnati.
karl
Sia (l,m,n) il vettore direzionale della retta r cercata ,ed $alpha,beta$ gli angoli,supposti acuti,
che essa forma con gli assi x ed z rispettivamente.
Deve aversi (come gia' indicato da Giuseppe87x);
$l=sqrt(l^2+m^2+n^2)cos alpha$
$n=sqrt(l^2+m^2+n^2)cos beta$
Da qui con qualche calcolo si giunge al sistema:
(1) ${(l^2tan^2alpha-m^2-n^2=0),(l^2+m^2-n^2tan^2beta=0 ):}$
Esso e' un sistema omogeneo nelle 3 incognite $l^2,m^2,n^2$ che ,come e' noto,si
risolve attribuendo a queste incognite i valori ( a segni alterni) dei minori che
si ottengono dalla matrice dei coefficienti cancellando una colonna per volta .
Ora tale matrice e':
$((tan^2alpha,-1,-1),(1,1,-tan^2beta))$ e quindi risulta (dopo qualche passaggio):
$l=+-1/(cosbeta),m=+-sqrt(tan^2alphatan^2beta-1),n=+-1/(cos alpha)$
Accoppiando queste soluzioni negli 8 modi possibili si ottengono 8
diverse rette:
(2)$x/l=y/m=z/n$
Non tutti gli angoli $alpha,beta$ sono pero' ammessi.Per la realita' di m deve aversi:
$tanalphatanbeta>=1$ che si puo' anche scrivere così: $(pi)/2<=alpha+beta
Il sistema (1) ha anche una sua interessante interpretazione geometrica ( che si sarebbe
potuta sfruttare per risolvere il problema per altra via).
Dalle (2) si puo' anche ricavare che:
(3) $l=kx,m=ky,n=kz$ con k coefficiente di proporzionalita' non nullo.
Sostituendo allora le (3) nelle (1) si ottiene un nuovo sistema in x,y,z:
${(x^2tan^2alpha -y^2-z^2=0),(x^2+y^2-z^2tan^2beta=0):}$
Si puo' quindi concludere che le rette richieste sono le (eventuali) intersezioni
di due coni aventi entrambi il vertice nell'origine e le generatrici inclinate sull'asse x
e sull'asse z rispettivamente degli angoli $alpha$ e $beta$ assegnati.
karl
Non si può più semplicemente trovare un versore parallelo alla retta sapendo che questo ha modulo $M=1$ e quindi
1) $x_0=M*cos(alpha)$
2) $y_0=M*cos(alpha)*sen(beta)$
3) $x_0^2+y_0^2+z_0^2=1$
1) $x_0=M*cos(alpha)$
2) $y_0=M*cos(alpha)*sen(beta)$
3) $x_0^2+y_0^2+z_0^2=1$
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