Equazione retta

[antonio21941]

Devo trovare l'equazione della retta incidente l'asse $z$ e la retta $r:{(x+y-z+2=0),(2x-3z+1=0)}$ e passante per il punto $A(1,-2,3)$

[kobeilprofeta]

metti a sistema le due equazione dell'asse z (x=y=0) e le due della retta r.
quello che trovi è il punto in comune alle due rette.
ora ti basta fare la retta passante per due punti

[antonio21941]

ma mettendo a sistema le 4 equazione ottengo due valori diversi di $z$

[kobeilprofeta]

la retta r è data come intersezione di due piani

il risultato mi fa pensare che i due piani siano paralleli e che le due soluzioni che trovi sono le intersezioni dei due piani con l'asse z

in poche parole r non è una retta ma sono due piani paralleli

[antonio21941]

sinceramente la cosa non mi è molto chiara in quanto so per definizione che affinchè due piani siano paralleli devo avere che il rango della matrice incompleta formato dalle costanti a,b,c dal primo piano a',b',c' del secondo piano sia 1 e che il rango della matrice completa (aggiungendo d e d') sia 2.. e supponendo che le equazioni della retta r siano 2 piani e facendo i conti mi risulta una matrice con rango 2

[antonio21941]

io stavo pensando ad usare il fascio di piani... prima con le equazioni delle rette e poi con le equazioni dell'asse, a quel punto andare a sostituire il punto nelle 2 equazioni e calcolarmi i 2 k... sostituire il k nelle equazioni del fascio e mettere a sistema le 2 equazioni trovando così la retta

[Samy211]

"antonio2194":Devo trovare l'equazione della retta incidente l'asse $z$ e la retta $r:{(x+y-z+2=0),(2x-3z+1=0)}$ e passante per il punto $A(1,-2,3)$

Io penso che si faccia così:
1. consideri il fascio ponendo $\lambda(x+y-z+2) + \mu (2x-3z+1)=0$
2. imponi la condizione di passaggio per il punto A (cioè sostituisci le coordinate nel punto 1 al posto di $x$, $y$,$z$).
3. ti trovi i valori di $\lambda$ e $\mu$.

Così trovi l'equazione della retta passante per A e incidente r.

Quella che incide z non saprei.

[kobeilprofeta]

penso di aver capito il problema tra r e z:
r è data come intersezione di due piani: questi due piani intersecano l'asse z nei due pti trovati da antonio, il problema è che la retta proprio non lo vede l'asse z

infatti non è corretto dire che il sistema ha due soluzioni distinte... non ne ha neanche una

[vict85]

@ kobeilprofeta : secondo me il problema chiede di trovare due punti, uno sull'asse \(z\) e l'altro sulla retta \(r\) tale che la retta passante per questi punti passi per \(A\). In questi termini però potrebbero esistere un numero continuo di soluzioni come nessuna. Il fatto che esista una sola retta con quella caratteristica è tutta da dimostrare.

Ovviamente le due rette non si intersecano. Per \(x = 0\) la retta \(r\) passa per il punto \(\displaystyle \biggl(0, -\frac53, \frac13\biggr) \) se non ho sbagliato calcoli. Quindi la mia interpretazione sembra più verosimile. Anche se da un calcolo veloce anche a me vengono due retta. Insomma posta una soluzione come \(\displaystyle (0,0,z_0) + t(1,-2,3-z_0) \) e sostituendo nelle equazioni della retta \(\displaystyle r \) mi è venuto fuori un'equazione di secondo grado in \(\displaystyle z_0 \) con due radici distinte e reali. Ma non escludo errori di calcolo.

[kobeilprofeta]

Hai ragione. In effetti ha piú senso. non chiede di trovare in tersezioni tra r e z.

[vict85]

Però, pensandoci bene, ha senso che sia un solo punto. Se io considero il piano che passa per l'asse \(z\) e per quel punto avrà un solo punto di intersezione con la retta data. Probabilmente è anche il metodo migliore per risolvere il problema.