Equazione piano passante per due punti e contenente l'origine

[Shika93]

Come da titolo, se devo scrivere l'equazione cartesiana del piano passante per i punti A e B e contenente l'origine, i due modi che propongo non dovrebbero essere equivalenti?

Il primo è col determinante:

$|((x-0,y-0,z-0),(x_A-0,y_A-0,z_A-0),(x_B-0,y_B-0,z_B-0))|=0$
Il classico piano passante per 3 punti.

Oppure con la definizione: $ax+by+cz=d$, i coefficienti li troverei con la direzione della retta $AB=((x_B-x_A),(y_B-y_A),(z_B-z_A))$ e poi imporrei il passaggio per l'origine trovando quindi $d$

Però mi tornando due risultati diversi. Se ho $A=(1,1,2)$, $B=(1,0,1)$
col primo metodo mi verrebbe $x+y-z=0$
mentre col secondo $-y-z=0$

Sbaglio per caso il secondo metodo?

[maikkk1]

Di certo il secondo piano che hai scritto($-y-z=0$) non va bene perché il punto $B$ non vi appartiene. Forse con il secondo metodo intendevi utilizzare l'equazione generica del piano in $RR^3$ cioè, appunto, $ax+by+cz+d=0$ e imporre il passaggio per i tre punti. A mio parere potresti però tranquillamente scrivere l'equazione parametrica $(x, y, z)^t = \alphaA+\betaB$ dove $\alpha,\beta in RR$ sono parametri e da questa ricavare l'equazione cartesiana.

[Shika93]

Ah si non ci avevo pensato. Perchè sbaglio il secondo metodo? Non posso usare come normale al piano, il direttore di una retta passante per AB? E quindi direzione $(0,-1,-1)^T$?