Equazione piano contenente un punto e una retta

[Shika93]

Come trovo l'equazione di un piano contenente il punto $P=(1,-1,-1)$ e la retta $r:\{(y=-2x+1),(z=x-2):}$?

[Alexp1]

Ciao,
scrivi il fascio dei piani passanti per la retta e poi imponi il passaggio per il punto...

[Shika93]

Cioè
$ax+by+cz+d+r$?

Ovvero: $x-y-z+d+(-2x+1+x-2)$?

[Sk_Anonymous]

E' giusto come ti suggerisce Alexp . Se però vuoi semplificarti la vita puoi osservare che il punto P appartiene alla retta r
e quindi vi sono infinite soluzioni al tuo problema. Due di queste ce l'hai già e sono il piano di equazione
$y=-2x+1$
oppure il piano di equazione :
$z=x-2$

[Shika93]

La soluzione mi da $3x+2y+z=0$

[Sk_Anonymous]

E' una delle tante soluzioni possibili. Per esempio se fai la combinazione lineare:
$2(y+2x-1)+1(z-x+2)=0$
ottieni proprio l'equazione che hai scritto tu. Del resto devi notare che la consegna parla di trovare "un piano " e non
"il piano " ...

[Shika93]

Si, lo so, esistono infinite rette, quindi posso scrivere quella sopra?
Cioè $x-y-z+d-x-1=0$ Poi imponendo il passaggio per P trovo d

[Sk_Anonymous]

L'ho già detto. Poiché la retta r passa per P, puoi solo prendere come soluzione una delle due equazioni della retta r oppure fare una qualunque combinazione lineare di entrambe le equazioni di r. In particolare, se desidere ottenere proprio l'equazione $3x+2y+z=0$, devi considerare la combinazione $2\cdot(y+2x-1)+1\cdot(z-x+2)=0$
Esistono altri metodi ma questo mi sembra il più abbordabile.
P.S. Nel risolvere esercizi come questo , in cui occorre trovare piani passanti per una retta e per un dato punto, prima di precipitarsi a scrivere l'equazione del fascio è bene verificare, al fine di evitare inutili calcoli, che il detto punto non appartenga alla retta data.

[Shika93]

Ho capito. Grazie mille!