Equazione parametrica superficie triangolo
Domanda credo molto semplice ma a cui non riesco a trovare una soluzione.
Voglio scrivere l'equazione della superficie in $ R^3 $ del triangolo delimitato dalla retta $ z = -1/3x + 1/3 $ e dai due assi delle $x$ e delle $z$. (fondamentalmente è un triangolo sul piano $xz$). Come posso scrivere l'equazione di questa superficie? E' chiaro che la coordinata $ y $ sarà zero ma quando vado a cercare di scrivere x ed y in funzione di due parametri trovo problemi con le limitazioni degli assi (a partire dal piano) per ora sono quindi a $ ( f(u,t) , 0 , g(u,t) ) $ dove $ u $ e $ t $ sono parametri.
Grazie mille per l'aiuto!
Voglio scrivere l'equazione della superficie in $ R^3 $ del triangolo delimitato dalla retta $ z = -1/3x + 1/3 $ e dai due assi delle $x$ e delle $z$. (fondamentalmente è un triangolo sul piano $xz$). Come posso scrivere l'equazione di questa superficie? E' chiaro che la coordinata $ y $ sarà zero ma quando vado a cercare di scrivere x ed y in funzione di due parametri trovo problemi con le limitazioni degli assi (a partire dal piano) per ora sono quindi a $ ( f(u,t) , 0 , g(u,t) ) $ dove $ u $ e $ t $ sono parametri.
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
"polveregoz":
Voglio scrivere l'equazione della superficie in $ R^3 $ del triangolo delimitato dalla retta $ z = -1/3x + 1/3 $
In $RR^3$ questa non e' una retta, e' un piano; devi dare un'altra equazione per caratterizzare la retta come intersezione di due piani. Oppure l'altra equazione e' $Y=0$? In tal caso, la risposta e' semplicemente
\[
\begin{cases}
X,Z \ge 0\\
Z = -1/3 X + 1/3 \le 0\\
Y =0
\end{cases}
\]
Mi pare di aver scritto che si tratta di una retta sul piano $xz$, la coordinata $ y $ è uguale a $ 0 $.
Quello che hai scritto, apparte quel minore di zero dopo l'equazione in funzione di $ x $ che trivializza il tutto (ma immagino sia un errore di battitura) non è affatto un equazione parametrica di una superficie.
Credo tu stia cercando di darmi la scrittura come insieme normale che NON è la cosa che sto cercando. La scrittura come insieme normale è piuttosto triviale.
Nel primo post ho scritto la forma che mi interessa e che non riesco a trovare
Quello che hai scritto, apparte quel minore di zero dopo l'equazione in funzione di $ x $ che trivializza il tutto (ma immagino sia un errore di battitura) non è affatto un equazione parametrica di una superficie.
Credo tu stia cercando di darmi la scrittura come insieme normale che NON è la cosa che sto cercando. La scrittura come insieme normale è piuttosto triviale.
Nel primo post ho scritto la forma che mi interessa e che non riesco a trovare
L'obiezione di Lao_Dan è venuta subito in mente anche a me, da come hai scritto non è immediatamente chiaro che assumi \(y=0\), prova a rileggerti.
A parte questo, un triangolo nel piano si parametrizza usando una combinazione convessa: se i vertici del triangolo sono \(A, B, C\) allora i suoi punti sono \(\alpha A+\beta B+ \gamma C\) dove \(\alpha+\beta+\gamma=1,\) e \(\alpha\ge 0, \beta\ge 0, \gamma \ge 0\). Nel nostro caso i punti del piano \(xz\) sono \((x,z)=(0, 1/3), (x, z)=(1, 0), (x,z)=(0,0)\), quindi il triangolo è dato da
\[
x=\beta, z= \frac13 \alpha,\qquad 0\le \alpha + \beta \le 1,\, \alpha \ge 0, \beta\ge 0.\]
A parte questo, un triangolo nel piano si parametrizza usando una combinazione convessa: se i vertici del triangolo sono \(A, B, C\) allora i suoi punti sono \(\alpha A+\beta B+ \gamma C\) dove \(\alpha+\beta+\gamma=1,\) e \(\alpha\ge 0, \beta\ge 0, \gamma \ge 0\). Nel nostro caso i punti del piano \(xz\) sono \((x,z)=(0, 1/3), (x, z)=(1, 0), (x,z)=(0,0)\), quindi il triangolo è dato da
\[
x=\beta, z= \frac13 \alpha,\qquad 0\le \alpha + \beta \le 1,\, \alpha \ge 0, \beta\ge 0.\]
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