Equazione parametrica retta
Ciao!
Anche le banalità in periodo d'esame lascian maturare dubbi.
L'esercizio, richiede questo:
Data la retta r : x + z = 0, x − 2z = 0 e la superficie S : x^2 − z^2 − 2z = 0
dare una rappresentazione parametrica della retta r e verificare che r appartiene alla superficie S.
Ora, dalla seconda equazione posso giungere alla soluzione (x=t, y=0, z=t/2), che non coincide però con la prima (x=t, y=0, z= -t). Come si dovrebbe operare? Faccio il prodotto scalare per individuare un vettore ortogonale ai due piani (quindi parallelo alla retta) da cui poter ricavare i parametri direttori della retta?
Per quanto riguarda la condizione di appartenenza alla superficie, suppongo debba solo verificare che la distanza tra il centro della circonferenza e la retta sia minore della lunghezza del raggio.
Grazie.
Anche le banalità in periodo d'esame lascian maturare dubbi.
L'esercizio, richiede questo:
Data la retta r : x + z = 0, x − 2z = 0 e la superficie S : x^2 − z^2 − 2z = 0
dare una rappresentazione parametrica della retta r e verificare che r appartiene alla superficie S.
Ora, dalla seconda equazione posso giungere alla soluzione (x=t, y=0, z=t/2), che non coincide però con la prima (x=t, y=0, z= -t). Come si dovrebbe operare? Faccio il prodotto scalare per individuare un vettore ortogonale ai due piani (quindi parallelo alla retta) da cui poter ricavare i parametri direttori della retta?
Per quanto riguarda la condizione di appartenenza alla superficie, suppongo debba solo verificare che la distanza tra il centro della circonferenza e la retta sia minore della lunghezza del raggio.
Grazie.
Risposte
...c'è qualche specifica non rispettata da poter permettermi domande fini a se stesse?
Sono nuova del forum e di certo non in pieno possesso di tutte le specifiche necessarie.
Grazie ancora.
Sono nuova del forum e di certo non in pieno possesso di tutte le specifiche necessarie.
Grazie ancora.
Una forma parametrica per $ r $ si trova risolvendo il sistema lineare di equazioni cartesiane associato ad $ r $.
Tu hai determinato (tra l'altro sbagliando) una forma parametrica per ciascuno dei piani che generano $ r $: ecco spiegato il fatto che le due forme non coincidono.
Dico "sbagliando" perché $ y $, dato che non compare in nessuna delle due equazioni, ha valore del tutto arbitrario in entrambi i casi, pertanto non puoi imporre $ y = 0 $.
Tu hai determinato (tra l'altro sbagliando) una forma parametrica per ciascuno dei piani che generano $ r $: ecco spiegato il fatto che le due forme non coincidono.
Dico "sbagliando" perché $ y $, dato che non compare in nessuna delle due equazioni, ha valore del tutto arbitrario in entrambi i casi, pertanto non puoi imporre $ y = 0 $.
So che le equazioni sono errate, non avrei posto la domanda al contrario. Mi piacerebbe capire in quale direzione vertere il mio ragionamento dal momento una retta in forma cartesiana nasce come intersezioni tra piani ed io non riesco a trovarne l'intersezione.
Grazie.
Grazie.
Ti ho già detto come devi fare per trovare una forma parametrica per $ r $.
Per quanto riguarda la seconda richiesta, basta calcolare $ r \cap S $; che risultato ti aspetti da tale intersezione?
Per quanto riguarda la seconda richiesta, basta calcolare $ r \cap S $; che risultato ti aspetti da tale intersezione?
La teoria generale per trovar l'equazione parametrica di una retta, partendo da un'equazione cartesiana, penso di conoscerla, ma non riesco ad applicarla a questo esercizio perchè mi si annulla tutto. Potrebbe espormi un esempio numerico? Per quanto riguarda il secondo punto, beh, dall'intersezione riuscirei a comprendere in che posizione si trova la retta rispetto alla superficie. Ora, non riuscendo a risalire ad una formula per la retta, non Le espongo i calcoli, ma se t avrà due soluzioni la retta sarà secante perchè intersecherà la superficie in due punti, qualora la soluzione fosse unica la retta sarebbe tangente, in caso differente dai precedenti sarebbe esterna.
Abbiamo
\[ r : \cases{ x+z=0 \\ x-2z=0 } \quad \rightarrow \quad r : \cases{ x=-z \\ x=2z } \quad \rightarrow \quad r : \cases{ x=0 \\ z=0} \]
Ecco allora l'intersezione cercata:
\[ r = \lbrace (0, t, 0) : t \in \mathbb{R} \rbrace \]
ossia
\[ r : \cases{ x=0 \\ y=t \\ z=0 } \qquad t \in \mathbb{R} \]
Per rispondere alla seconda richiesta, non occorre conoscere una forma parametrica per $ r $: l'unica cosa che devi verificare è che $ r \cap S = r $.
\[ r : \cases{ x+z=0 \\ x-2z=0 } \quad \rightarrow \quad r : \cases{ x=-z \\ x=2z } \quad \rightarrow \quad r : \cases{ x=0 \\ z=0} \]
Ecco allora l'intersezione cercata:
\[ r = \lbrace (0, t, 0) : t \in \mathbb{R} \rbrace \]
ossia
\[ r : \cases{ x=0 \\ y=t \\ z=0 } \qquad t \in \mathbb{R} \]
Per rispondere alla seconda richiesta, non occorre conoscere una forma parametrica per $ r $: l'unica cosa che devi verificare è che $ r \cap S = r $.
Beh, no, non è necessario che sia parametrica, era solo per una semplicità di calcoli e per un confronto da poter apportare.
Era quindi ovvio che mi si annullasse tutto x e z sono 0!
Grazie tante davvero, purtroppo ogni risoluzione di esercizio, non essendoci delle soluzioni (seppur solo numeriche) diventa un taboo.
Era quindi ovvio che mi si annullasse tutto x e z sono 0!
Grazie tante davvero, purtroppo ogni risoluzione di esercizio, non essendoci delle soluzioni (seppur solo numeriche) diventa un taboo.
...a prescindere da quanto sopra chiarito, se avessi ragionato in termini di lunghezza del raggio avrei mica sbagliato?
No, pardon, non ha alcun raggio, il segno "-" mi ha tratto in inganno.
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