Equazione parametrica di una retta parallela a cartesiana
Salve, non riesco a capire una cosa abbastanza semplice..
Supponiamo di avere una retta parametrica, in R^2, del tipo:
x = 3t + 4
y = -t + 1
Affinchè una retta cartesiana sia ortogonale a tale retta parametrica, come deve avere i coefficenti delle x e delle y ??
E affinchè la retta cartesiana sia parallela alla retta parametrica, come deve avere i coefficenti delle x e delle y ??
Grazie !!
Supponiamo di avere una retta parametrica, in R^2, del tipo:
x = 3t + 4
y = -t + 1
Affinchè una retta cartesiana sia ortogonale a tale retta parametrica, come deve avere i coefficenti delle x e delle y ??
E affinchè la retta cartesiana sia parallela alla retta parametrica, come deve avere i coefficenti delle x e delle y ??
Grazie !!
Risposte
Cos'è una retta cartesiana? 
"ciampax":
Cos'è una retta cartesiana?
Mi scuso se non l'ho scritto a causa della fretta, intendevo dire una retta in forma cartesiana del tipo ax+by+c = 0
Beh, rifletti su cosa sono i vari simboli nella rappresentazione parametrica di una retta. Se ne consideri una generica hai
$x=\alpha t+a,\quad y=\beta t+b$
dove $(a,b)$ è un punto per cui tale retta passa e $v=(\alpha,\beta)$ è il vettore direzione della retta stessa. Osserva che il coefficiente angolare della rappresentazione cartesiana di tale retta è $m=\beta/\alpha$ come puoi facilmente verificare ricavando la t da una delle equazioni precedenti e sostituendo nell'altra equazione. Ora, le risposte vengono automaticamente: il coefficiente angolare di una retta perpendicolare è $m'=-\alpha/\beta$ mentre quello di una retta parallela coincide con quello di una retta data.
$x=\alpha t+a,\quad y=\beta t+b$
dove $(a,b)$ è un punto per cui tale retta passa e $v=(\alpha,\beta)$ è il vettore direzione della retta stessa. Osserva che il coefficiente angolare della rappresentazione cartesiana di tale retta è $m=\beta/\alpha$ come puoi facilmente verificare ricavando la t da una delle equazioni precedenti e sostituendo nell'altra equazione. Ora, le risposte vengono automaticamente: il coefficiente angolare di una retta perpendicolare è $m'=-\alpha/\beta$ mentre quello di una retta parallela coincide con quello di una retta data.
"ciampax":
Beh, rifletti su cosa sono i vari simboli nella rappresentazione parametrica di una retta. Se ne consideri una generica hai
$x=\alpha t+a,\quad y=\beta t+b$
dove $(a,b)$ è un punto per cui tale retta passa e $v=(\alpha,\beta)$ è il vettore direzione della retta stessa. Osserva che il coefficiente angolare della rappresentazione cartesiana di tale retta è $m=\beta/\alpha$ come puoi facilmente verificare ricavando la t da una delle equazioni precedenti e sostituendo nell'altra equazione. Ora, le risposte vengono automaticamente: il coefficiente angolare di una retta perpendicolare è $m'=-\alpha/\beta$ mentre quello di una retta parallela coincide con quello di una retta data.
Dunque ne consegue che una retta del tipo ax+by = c ed una parametrica del tipo
x = 2t +2
y = 3t -5
sono parallela se il coefficente a (dell'equazione in forma cartesiana) è uguale 2 e il coefficente b è 3 .. Giusto ??
No, esattamente il contrario! Infatti dalla forma generale che ho scritto prima ottieni l'equazione cartesiana della retta
$\frac{y-b}{x-a}=\frac{\beta}{\alpha}$ da cui $ \alpha y-b\alpha=\beta x-a\beta$
e quindi l'equazione cartesiana della retta originale è
$\beta x-\alpha y+b\alpha-a\beta=0$
Vedi subito che allora una retta parallela a questa $Ax+By+C=0$ deve avere $A=\beta,\ B=-\alpha$. Nel tuo caso quindi $A=3,\ B=-2$.
$\frac{y-b}{x-a}=\frac{\beta}{\alpha}$ da cui $ \alpha y-b\alpha=\beta x-a\beta$
e quindi l'equazione cartesiana della retta originale è
$\beta x-\alpha y+b\alpha-a\beta=0$
Vedi subito che allora una retta parallela a questa $Ax+By+C=0$ deve avere $A=\beta,\ B=-\alpha$. Nel tuo caso quindi $A=3,\ B=-2$.
"ciampax":
No, esattamente il contrario! Infatti dalla forma generale che ho scritto prima ottieni l'equazione cartesiana della retta
$\frac{y-b}{x-a}=\frac{\beta}{\alpha}$ da cui $ \alpha y-b\alpha=\beta x-a\beta$
e quindi l'equazione cartesiana della retta originale è
$\beta x-\alpha y+b\alpha-a\beta=0$
Vedi subito che allora una retta parallela a questa $Ax+By+C=0$ deve avere $A=\beta,\ B=-\alpha$. Nel tuo caso quindi $A=3,\ B=-2$.
Quindi se il prodotto scalare del vettore direttore della retta in forma parametrica per il vettore direttore della rette in forma cartesiana del tipo a * x = \alpha è uguale a zero, implica che la retta è parallela, nel caso tale prodotto sia un multiplo oppure sia uno dei due vettori direttori stessi implica che le rette sono perpendicolari !!!
Attento a ciò che dici: il vettore direttore della retta di equazione cartesiana di equazione
$Ax+By+C=0$
è $v=(-B,A)$. (Come del resto ti avevo scritto prima!)
$Ax+By+C=0$
è $v=(-B,A)$. (Come del resto ti avevo scritto prima!)
"ciampax":
Attento a ciò che dici: il vettore direttore della retta di equazione cartesiana di equazione
$Ax+By+C=0$
è $v=(-B,A)$. (Come del resto ti avevo scritto prima!)
Appunto nel caso sia -B e A la retta è parallela ad una retta in forma parametrica del tipo
x = At
y = Bt
NO, In quel caso è parallela alla retta di equazione parametrica
$x=-Bt+a,\qquad y=At+b$
con $a,b$ qualunque!
$x=-Bt+a,\qquad y=At+b$
con $a,b$ qualunque!
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