Equazione parametrica del piano

[abaco90]

Ciao a tutti,

ho un dubbio sull'equazione parametrica del piano.

Ad esempio questi due esercizi, con le relative soluzioni:

1) Scrivere l'eq. parametrica del piano passante per P (1, 2, -1) e Q (3, 2, 5).

Equazione del piano:

$ x = t + 3r $
$ y = 2t + 2r $
$ z = -t + 5r $

2) Determinare l'eq. parametrica del piano passante per i punti P (3, 2, 1), Q (-1, 2, -3) e R (1, 1, 1).

Determino il vettore PQ = (-4, 0, -4) e il vettore PR = (2, -1, 0).

Equazione del piano:

$ x = -4t + 2r + 3 $
$ y = -r + 2 $
$ z = -4t + 1 $

Quello che non capisco è perchè nel secondo mi trovo i vettori PQ e PR mentre nel primo non trovo nessun vettore e applico la formula direttamente alle coordinate dei due punti?

Grazie!

[dan952]

Beh in effetti nel primo hai un vettore per cui passano infiniti piani, potresti prendere un terzo punto arbitrario $A=(u,v,t)$ e applicare la parametrizzazione con i vettori PA e QA

A meno che non ci sia la condizione che passi per l'origine