Equazione parabola dati fuoco, centro e un punto
salve ragazzi...per l'ennesima volta, a causa del nostro prof tutto teoria e 0 esercizi, mi trovo a dover chiedere il vostro aiuto per venire a capo di un esercizio
Si fissi in E2 un riferimento cartesiano $R = (O; B)$.
(a) Si determinino equazioni delle parabole gamma 1 e gamma 2, in $ E2 uu ioo $ (retta impropria) , aventi fuoco $F(0; 1)$,
centro $C1(1;-1; 0)$ e passanti per il punto $A(-1/2 ; 1/2 )$.
(b) Si determinino l'asse e il vertice di ciascuna parabola.
io ho pensato di ragionare cosi: considero l'equazione canonica di una qualsiasi conica, la matrice associata e impongo varie condizioni, come l'appartenenza di A alla conica, il fatto che per avere una parabola deve risultare $ (a12)^2-(a11)(a22)=0 $ , però proprio non riesco a venirne a capo...sapendo che il centro è un punto improprio e appartiene alla parabola mi sono calcolato la polare (sempre in termini generali) ma non capisco come possa servirmi per risalire alle equazioni
Si fissi in E2 un riferimento cartesiano $R = (O; B)$.
(a) Si determinino equazioni delle parabole gamma 1 e gamma 2, in $ E2 uu ioo $ (retta impropria) , aventi fuoco $F(0; 1)$,
centro $C1(1;-1; 0)$ e passanti per il punto $A(-1/2 ; 1/2 )$.
(b) Si determinino l'asse e il vertice di ciascuna parabola.
io ho pensato di ragionare cosi: considero l'equazione canonica di una qualsiasi conica, la matrice associata e impongo varie condizioni, come l'appartenenza di A alla conica, il fatto che per avere una parabola deve risultare $ (a12)^2-(a11)(a22)=0 $ , però proprio non riesco a venirne a capo...sapendo che il centro è un punto improprio e appartiene alla parabola mi sono calcolato la polare (sempre in termini generali) ma non capisco come possa servirmi per risalire alle equazioni
Risposte
L'asse della parabola è la retta FC di equazione cartesiana \(\displaystyle x+y-1=0 \).La direttrice ,essendo perpendicolare all'asse,ha equazione cartesiana \(\displaystyle x-y+k=0 \).Per determinare k si deve ricordare l'equidistanza del punto dato A da F e dalla direttrice.In tal modo si ha l'equazione:
\(\displaystyle \frac{|k-1|}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2} \)
da cui risulta :
\(\displaystyle k-1=\pm1 \)
e successivamente :
\(\displaystyle k_1=0,k_2=2 \)
Si hanno quindi due direttrici \(\displaystyle x-y=0 \text{ e }x-y+2=0 \) a cui corrispondono le due parabole richieste.
Per ottenere le equazioni cartesiane di queste ultime anche stavolta si può ricorrere all'equidistanza del generico
punto P(x,y) dal fuoco F e dalla direttrice.
Nel primo caso si ha le relazione:
\(\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}=\frac{|x-y|}{\sqrt2} \)
che porta all'equazione della prima parabola:
\(\displaystyle (x+y)^2-4y+2=0 \)
Nel secondo caso risulta :
\(\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt2} \)
che porta all'equazione della seconda parabola:
\(\displaystyle (x+y)^2-4x-2=0 \)
\(\displaystyle \frac{|k-1|}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2} \)
da cui risulta :
\(\displaystyle k-1=\pm1 \)
e successivamente :
\(\displaystyle k_1=0,k_2=2 \)
Si hanno quindi due direttrici \(\displaystyle x-y=0 \text{ e }x-y+2=0 \) a cui corrispondono le due parabole richieste.
Per ottenere le equazioni cartesiane di queste ultime anche stavolta si può ricorrere all'equidistanza del generico
punto P(x,y) dal fuoco F e dalla direttrice.
Nel primo caso si ha le relazione:
\(\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}=\frac{|x-y|}{\sqrt2} \)
che porta all'equazione della prima parabola:
\(\displaystyle (x+y)^2-4y+2=0 \)
Nel secondo caso risulta :
\(\displaystyle \sqrt{x^2+(y-1)^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt2} \)
che porta all'equazione della seconda parabola:
\(\displaystyle (x+y)^2-4x-2=0 \)
grazie infinite...spiegazione molto chiara!
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