Equazione numeri complessi algebra lineare
Salve a tutti mi sto preparando per un esame di Algebra lineare e mi sono imbattuto in questo banale esercizio che però mi ha messo in crisi per via della presenza di \(\displaystyle z segnato \).. l'equazione è questa.. qualcuno mi spiegherebbe i passaggi per risolverla? grazie..
\(\displaystyle z^3 z(segnato) +3z^2 -4 =0 \)
\(\displaystyle z^3 z(segnato) +3z^2 -4 =0 \)
Risposte
Sposto in Ceometria e Algebra lineare.
Fai un tentativo se vuoi essere aiutato , ti consiglio di leggere il regolamento
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"Camillo":
Sposto in Ceometria e Algebra lineare.
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Salve Camillo chiedo scusa ma non avevo letto il regolamento e non sapevo in che modo porre il mio dubbio comunque io ho proceduto trasformando un forma esponenziale l'equazione cioè ho posto\(\displaystyle z=\rho e ^(i\theta) \) per cui dopo aver sostituito e raccolto ottengo \(\displaystyle \rho^2*e^((2i\theta))*(\rho^2+3)-4=0 \) la mia professoressa ha messo una soluzione solamente parziale cioè che dovrei ottenere \(\displaystyle \rho^2*e^((-2i\theta))*(\rho^2+3)+4=0 \) ma non capisco da dove arrivi quel segno negativo all'esponenziale visto che ho solamente un z segnato ed inoltre ha cambiato segno al termine noto.. forse a questo è dovuto il segno negativo all'esponenziale?? comunque non vedo il collegamento.. questo è il dubbio più grande grazie..
ps non riesco a mettere all'esponenziale l'intera parentesi \(\displaystyle (2i\theta) \) scusate..
Dunque, stai risolvendo questa equazione, giusto: $z^3\ \bar{z}+3z^2-4=0$. Posto $z=\rho e^{i\theta}$, essendo $\bar{z}=\rho e^{-i\theta}$ si ha $\rho^3\ e^{3i\theta}\cdot \rho\ e^{-i\theta}+3\rho^2\ e^{2i\theta}-4=0$, per cui $\rho^2\ e^{2i\theta}(\rho^2+3)-4=0$. Supponendo $\rho\ne 0$ (che tra l'altro puoi escludere perché non soddisfa l'equazione) si ha
$e^{2i\theta}=\frac{4}{\rho^2(\rho^2+3)}$
e dalla formula di Eulero $e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha$
$\cos(2\theta)+i\sin(2\theta)=\frac{4}{\rho^2(\rho^2+3)}$
Ora osserva che a destra hai un numero reale positivo, mentre a sinistra un numero complesso. Dal momento che quella scritta deve essere una identità essa è verificata solo quando
$\sin(2\theta)=0,\qquad \cos(2\theta)=\frac{4}{\rho^2(\rho^2+3)}>0$
Dalla prima $2\theta=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ e quindi, tenendo conto delle periodicità, $\theta_k=k\ \pi/2$ con $k=0,...,3$. Dalla seconda, abbiamo
$\cos(2\theta)=\cos(k\pi)=(-1)^k$
e quindi, volendo solo i valori positivi, dobbiamo imporre che $k=0,\ k=2$. Pertanto si hanno i valori degli angoli $\theta_0=0,\ \theta_2=\pi$, e, sempre dalla seconda condizione, si ricava che deve essere
$\frac{4}{\rho^2(\rho^2+3)}=1$ da cui $\rho^4+3\rho^2-4=0$ che ti permettono di trovare i valori di $\rho$ ($\rho=1$ è l'unica soluzione).
Pertanto
$z_0=e^{i\theta_0}=1,\qquad z_2=e^{i\theta_2}=-1$
sono le uniche soluzioni.
$e^{2i\theta}=\frac{4}{\rho^2(\rho^2+3)}$
e dalla formula di Eulero $e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha$
$\cos(2\theta)+i\sin(2\theta)=\frac{4}{\rho^2(\rho^2+3)}$
Ora osserva che a destra hai un numero reale positivo, mentre a sinistra un numero complesso. Dal momento che quella scritta deve essere una identità essa è verificata solo quando
$\sin(2\theta)=0,\qquad \cos(2\theta)=\frac{4}{\rho^2(\rho^2+3)}>0$
Dalla prima $2\theta=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ e quindi, tenendo conto delle periodicità, $\theta_k=k\ \pi/2$ con $k=0,...,3$. Dalla seconda, abbiamo
$\cos(2\theta)=\cos(k\pi)=(-1)^k$
e quindi, volendo solo i valori positivi, dobbiamo imporre che $k=0,\ k=2$. Pertanto si hanno i valori degli angoli $\theta_0=0,\ \theta_2=\pi$, e, sempre dalla seconda condizione, si ricava che deve essere
$\frac{4}{\rho^2(\rho^2+3)}=1$ da cui $\rho^4+3\rho^2-4=0$ che ti permettono di trovare i valori di $\rho$ ($\rho=1$ è l'unica soluzione).
Pertanto
$z_0=e^{i\theta_0}=1,\qquad z_2=e^{i\theta_2}=-1$
sono le uniche soluzioni.
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