Equazione matriciale
Ciao a tutti.
Non riesco a venire a capo alla seguente equazione matriciale:
$((x1,x2,x3),(x4,x5,x6),(x7,x8,x9))$*$((1),(2),(3))$=$((2),(4),(9))$
Di primo acchito si può notare che una matrice che risolve l'equazione è la seguente:
$((2,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$
io VOGLIO ottenere questo risultato (per dimostrare che scrivendo i vettori rispetto ad una base di autovettori la matrice dell'applicazione lineare diventa diagonale).
Però quali sono i passaggi "Ufficiali"?
Io ho fatto la trasposta da ambo i membri riconducendomi all'equazione matriciale classica AX=B cioè:
$(1,2,3)$*$((x1,x4,x7),(x2,x5,x8),(x3,x6,x9))$=$(2,4,9)$
$(1,2,3)$*$((X1),(X2),(X3))$=$(2,4,9)$
arrivo al sistema
1X1+2X2+3X3=(2,4,9) ovvero ho due parametri liberi...ma questo vuol dire che posso costruire infinite matrici che risolvono l'equazione che non sono nella forma $((2,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$.
Perchè?
Non riesco a venire a capo alla seguente equazione matriciale:
$((x1,x2,x3),(x4,x5,x6),(x7,x8,x9))$*$((1),(2),(3))$=$((2),(4),(9))$
Di primo acchito si può notare che una matrice che risolve l'equazione è la seguente:
$((2,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$
io VOGLIO ottenere questo risultato (per dimostrare che scrivendo i vettori rispetto ad una base di autovettori la matrice dell'applicazione lineare diventa diagonale).
Però quali sono i passaggi "Ufficiali"?
Io ho fatto la trasposta da ambo i membri riconducendomi all'equazione matriciale classica AX=B cioè:
$(1,2,3)$*$((x1,x4,x7),(x2,x5,x8),(x3,x6,x9))$=$(2,4,9)$
$(1,2,3)$*$((X1),(X2),(X3))$=$(2,4,9)$
arrivo al sistema
1X1+2X2+3X3=(2,4,9) ovvero ho due parametri liberi...ma questo vuol dire che posso costruire infinite matrici che risolvono l'equazione che non sono nella forma $((2,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$.
Perchè?
Risposte
"funny hill":
(per dimostrare che scrivendo i vettori rispetto ad una base di autovettori la matrice dell'applicazione lineare diventa diagonale).
mi spieghi questa frase perchè non sono riuscito a comprenderla (non sto dicendo che sia sbagliata, solo che non la comprendo).
Scrivere i vettori rispetto ad una base, significa determinarne le componenti, cosa c'entra la matrice dell'applicazione lineare?
Se esiste una BASE di autovettori allora posso scrivere i vettori in modo unico rispetto a tale base.
ad esempio:
sia x=(x1,x2,x3) scritta rispetto agli autovettori v1,v2,v3(relativi rispettivamente agli autovalori t1,t2,t3
se faccio f(x)=f(x1v1,x2v2,x3v3)=f(x1v1)+f(x2v2)+f(x3v3)=x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3)=x1t1+x2t2+x3t3=(x1t1,x2t2,x3t3) che è la "stessa cosa di prendere x e moltiplicarlo per una matrice avente sulla diagonale gli autovalori"
ecco voglio dimostrare ques'tultima frase
ad esempio:
sia x=(x1,x2,x3) scritta rispetto agli autovettori v1,v2,v3(relativi rispettivamente agli autovalori t1,t2,t3
se faccio f(x)=f(x1v1,x2v2,x3v3)=f(x1v1)+f(x2v2)+f(x3v3)=x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3)=x1t1+x2t2+x3t3=(x1t1,x2t2,x3t3) che è la "stessa cosa di prendere x e moltiplicarlo per una matrice avente sulla diagonale gli autovalori"
ecco voglio dimostrare ques'tultima frase
non voglio essere pignolo, ma solo perché in questo modo magari si capisce meglio.
Innanzi tutto ci sono degli errori
dovrebbe essere $x_1f(v_1)+...+x_3f(v_3)$ ma sopratutto dopo, nel membro seguente. la definizione di autovettore è $f(v)=lambdav$. Quindi dovrebbe essere $x_1t_1v_1+x_2t_2v_2+x_3t_3v_3$ anche perchè ciò che hai scritto tu è uno scalare e non un vettore...
Poi determinare le componenti rispetto una base vuol dire preso un vettore $x(x_1,x_2,x_3)$ scriverlo sotto forma $x=av_1+bv_2+cv_3$. Per come le hai determinate tu, hai trattato $v_1,v_2,v_3$ come vettori della base canonica, e pertanto la matrice associata a questa applicazione lineare sarà $((t_1,0,0),(0,t_2,0),(0,0,t_3))$ che è quello che volevi provare...
ma non so se ho risposto bene, perchè non ho capito per bene ciò che intendi...
mi sapresti postare una proposizione rigorosa a riguardo?
Innanzi tutto ci sono degli errori
"funny hill":
sia x=(x1,x2,x3) scritta rispetto agli autovettori v1,v2,v3(relativi rispettivamente agli autovalori t1,t2,t3
se faccio f(x)=f(x1v1,x2v2,x3v3)=f(x1v1)+f(x2v2)+f(x3v3)=x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3)=x1t1+x2t2+x3t3=(x1t1,x2t2,x3t3)
dovrebbe essere $x_1f(v_1)+...+x_3f(v_3)$ ma sopratutto dopo, nel membro seguente. la definizione di autovettore è $f(v)=lambdav$. Quindi dovrebbe essere $x_1t_1v_1+x_2t_2v_2+x_3t_3v_3$ anche perchè ciò che hai scritto tu è uno scalare e non un vettore...
Poi determinare le componenti rispetto una base vuol dire preso un vettore $x(x_1,x_2,x_3)$ scriverlo sotto forma $x=av_1+bv_2+cv_3$. Per come le hai determinate tu, hai trattato $v_1,v_2,v_3$ come vettori della base canonica, e pertanto la matrice associata a questa applicazione lineare sarà $((t_1,0,0),(0,t_2,0),(0,0,t_3))$ che è quello che volevi provare...
ma non so se ho risposto bene, perchè non ho capito per bene ciò che intendi...
mi sapresti postare una proposizione rigorosa a riguardo?
innanzitutto grazie per l'interesse.
Riguardo agli errori hai pienamente ragione ma ho scritto di fretta perchè mia mamma mi aveva chiamato per andare a mangiare!
Tu dici:(come si fa a quotare?)
Per come le hai determinate tu, hai trattato v1,v2,v3 come vettori della base canonica.
Io ho preso una terna di numeri e ho SPECIFICATO che erano rispetto alla base di autovettori,dov'è il problema?
Comunque tagliando la testa al toro io sto cercando di dimostrare il seguente:
Se $M$ matrice associata ad applicazione lineare operando un cambiamento di base rispetto alla base di autovettori la matrice che si ottiene(simile)$M'$ è diagonale
Dato che non ho trovato la dimostrazione ho cercato di farmela da solo, ora te la rifaccio così si capisce da dove salta fuori l'equazione matriciale.
sia x=(x1,x2,x3) scritta rispetto agli autovettori v1,v2,v3(relativi rispettivamente agli autovalori t1,t2,t3
se faccio f(x)=f(x1v1,x2v2,x3v3)=f(x1v1)+f(x2v2)+f(x3v3)=x1f(v1)+x2f(v2)+x3f(v3)=x1t1v1+x2t2v2+x3t3v3=(x1t1,x2t2,x3t3)
riscrivendo in forma matriciale abbiamo:
$A$*$((x1),(x2),(x3))$=$((t1x1),(t2x2),(t3x3))$
pertanto se la matrice $A$ fosse uguale a $A'$= $((t1,0,0),(0,t2,0),(0,0,t3))$ allora tutto funziona.Ma chi mi garantisce la matrice A' sia l'UNICA matrice che verifica $A$*$((x1),(x2),(x3))$=$((t1x1),(t2x2),(t3x3))$.
Allora mi son detto faccio un'equaz matriciale:
$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$ *$((x1),(x2),(x3))$=$((t1x1),(t2x2),(t3x3))$.
Risolvendola(vedi primo post) ottengo infiniti risulatati quindi infinite matrici A quindi anche NON DIAGONALI.Pertanto c'è qualcosa che non funziona(oppure ho ragione io e tutta l'algebra lineare ha torto).
Quindi ti chiedo per favore o di trovarmi l'errore o di farmi un'altra dimostrazione!!Grazie!
Riguardo agli errori hai pienamente ragione ma ho scritto di fretta perchè mia mamma mi aveva chiamato per andare a mangiare!
Tu dici:(come si fa a quotare?)
Per come le hai determinate tu, hai trattato v1,v2,v3 come vettori della base canonica.
Io ho preso una terna di numeri e ho SPECIFICATO che erano rispetto alla base di autovettori,dov'è il problema?
Comunque tagliando la testa al toro io sto cercando di dimostrare il seguente:
Se $M$ matrice associata ad applicazione lineare operando un cambiamento di base rispetto alla base di autovettori la matrice che si ottiene(simile)$M'$ è diagonale
Dato che non ho trovato la dimostrazione ho cercato di farmela da solo, ora te la rifaccio così si capisce da dove salta fuori l'equazione matriciale.
sia x=(x1,x2,x3) scritta rispetto agli autovettori v1,v2,v3(relativi rispettivamente agli autovalori t1,t2,t3
se faccio f(x)=f(x1v1,x2v2,x3v3)=f(x1v1)+f(x2v2)+f(x3v3)=x1f(v1)+x2f(v2)+x3f(v3)=x1t1v1+x2t2v2+x3t3v3=(x1t1,x2t2,x3t3)
riscrivendo in forma matriciale abbiamo:
$A$*$((x1),(x2),(x3))$=$((t1x1),(t2x2),(t3x3))$
pertanto se la matrice $A$ fosse uguale a $A'$= $((t1,0,0),(0,t2,0),(0,0,t3))$ allora tutto funziona.Ma chi mi garantisce la matrice A' sia l'UNICA matrice che verifica $A$*$((x1),(x2),(x3))$=$((t1x1),(t2x2),(t3x3))$.
Allora mi son detto faccio un'equaz matriciale:
$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$ *$((x1),(x2),(x3))$=$((t1x1),(t2x2),(t3x3))$.
Risolvendola(vedi primo post) ottengo infiniti risulatati quindi infinite matrici A quindi anche NON DIAGONALI.Pertanto c'è qualcosa che non funziona(oppure ho ragione io e tutta l'algebra lineare ha torto).
Quindi ti chiedo per favore o di trovarmi l'errore o di farmi un'altra dimostrazione!!Grazie!
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