Equazione matriciale
Salve sono nuovo del forum! Scusatemi se vieto qualche regola, avrei un problema semplice che non riesco a risolvere, ed è il seguente: Siano P,A,Q matrici invertibili 4x4. Dire perchè [tex]PAQ^{-1}[/tex] è invertibile e scrivere un'espressione per la sua inversa.
Io ho ragionato così: P è invertibile (anche A e Q) Dalle proprietà delle matrici invertibili so che se
[tex]P*P^{-1}=I_{n}[/tex] [tex]A*A^{-1}=I_{n}[/tex] e [tex]Q*Q^{-1}=I_{n}[/tex] quindi [tex](P*A*Q)*(P^{-1}*A^{-1}*Q^{-1}=I_{n})[/tex], da qui non capisco come trovare un'espressione per l'inversa e perchè anche [tex]PAQ^{-1}[/tex] è invertibile
Grazie!
Io ho ragionato così: P è invertibile (anche A e Q) Dalle proprietà delle matrici invertibili so che se
[tex]P*P^{-1}=I_{n}[/tex] [tex]A*A^{-1}=I_{n}[/tex] e [tex]Q*Q^{-1}=I_{n}[/tex] quindi [tex](P*A*Q)*(P^{-1}*A^{-1}*Q^{-1}=I_{n})[/tex], da qui non capisco come trovare un'espressione per l'inversa e perchè anche [tex]PAQ^{-1}[/tex] è invertibile
Grazie!
Risposte
Sono tre matrici quadrate invertibili pertanto:
$det(PAQ^(-1))=det(P)det(A)det(Q^(-1))!=0$ pertanto anche $PAQ^(-1)$ è invertibile
L'inversa è $[PAQ^(-1)]^(-1)=QA^(-1)P^(-1)$
$det(PAQ^(-1))=det(P)det(A)det(Q^(-1))!=0$ pertanto anche $PAQ^(-1)$ è invertibile
L'inversa è $[PAQ^(-1)]^(-1)=QA^(-1)P^(-1)$
Grazie mille chiarissimo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo