Equazione generale iperbole
Buon sabato sera!
Mi sto sollazzando con la costruzione delle equazioni delle figure geometriche partendo dalle loro definizioni. Ho un problema con l’iperbole. La definizione è: il luogo geometrico dei punti del piano tali per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Quindi, volendo costituire l’equazione a partire dalla definizione si ha:
Dato un generico punto P(x,y)
Dati i due fuochi F1($x_f1$,$y_f1$) ed F2($x_f2$,$y_f2$) e c = la costante della differenza delle distanze del generico punto P dai due fuochi F1 ed F2
| |$\bar{PF1}$| - |$\bar{PF2}$| | = c
Da cui:
$ | |sqrt[(x-x_f1)^2+(y-y_f1)^2]| - |sqrt[(x-x_f2)^2+(y-y_f2)^2]|| = c $
Perché non trovo da nessuna parte tale equazione?
Trovo sempre e solo i casi specifici! (Es. $ x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 $ )
D’accordo! Semplificare è sempre un bene quando possibile ma l’equazione generale dovrebbe sempre esser scritta!!
Nessuno di voi c’ha mai lavorato sopra?
Mi sto sollazzando con la costruzione delle equazioni delle figure geometriche partendo dalle loro definizioni. Ho un problema con l’iperbole. La definizione è: il luogo geometrico dei punti del piano tali per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Quindi, volendo costituire l’equazione a partire dalla definizione si ha:
Dato un generico punto P(x,y)
Dati i due fuochi F1($x_f1$,$y_f1$) ed F2($x_f2$,$y_f2$) e c = la costante della differenza delle distanze del generico punto P dai due fuochi F1 ed F2
| |$\bar{PF1}$| - |$\bar{PF2}$| | = c
Da cui:
$ | |sqrt[(x-x_f1)^2+(y-y_f1)^2]| - |sqrt[(x-x_f2)^2+(y-y_f2)^2]|| = c $
Perché non trovo da nessuna parte tale equazione?
Trovo sempre e solo i casi specifici! (Es. $ x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 $ )
D’accordo! Semplificare è sempre un bene quando possibile ma l’equazione generale dovrebbe sempre esser scritta!!
Nessuno di voi c’ha mai lavorato sopra?
Risposte
Ciao, c'è tutta una teoria che ti dice esattamente se l'equazione
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
è l'equazione di una parabola, ellissi o iperbole oppure è degenere (unione di 2 rette distinte o coincidenti oppure un punto o l'insieme vuoto). Vedi per esempio qui (general cartesian form).
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
è l'equazione di una parabola, ellissi o iperbole oppure è degenere (unione di 2 rette distinte o coincidenti oppure un punto o l'insieme vuoto). Vedi per esempio qui (general cartesian form).
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