Equazione fascio di coniche dato vertice o asintoto
salve ragazzi, sto facendo alcuni esercizi sulle coniche...sono rimasto bloccato a questi 2:
Si determini un'equazione del fascio di coniche aventi la retta a : x+y -1 = 0 come asse, il punto F(1; 0) come fuoco e tali che F sia coniugato al punto A(0; 2).
Si determini un'equazione del fascio F di coniche aventi il punto V (1; 0) come vertice, la retta a : y = 0 come asse e passanti per A(0; 2).
per quel che riguarda il primo ho ragionato cosi: il fuoco ha come polare la direttrice ed essendo F e A coniugati, A appartiene alla direttrice...ho quindi che le rette passanti per A hanno equazione $ mx-y+2=0 $
Poichè la direttrice deve essere perpendicolare all'asse, ho che la direttrice d ha equazione $ x+y-2=0 $
ho pensato allora la conica come il luogo di punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice e ho ottenuto il seguente fascio
$ (x-1)^2+y^2+k(x+y-2)^2=0 $
ho ragionato bene?
per il secondo non so come fare invece
un altro dubbio...ma partendo dall'equazione del fascio, quale condizione devo imporre per avere un'iperbole equilatera?
Si determini un'equazione del fascio di coniche aventi la retta a : x+y -1 = 0 come asse, il punto F(1; 0) come fuoco e tali che F sia coniugato al punto A(0; 2).
Si determini un'equazione del fascio F di coniche aventi il punto V (1; 0) come vertice, la retta a : y = 0 come asse e passanti per A(0; 2).
per quel che riguarda il primo ho ragionato cosi: il fuoco ha come polare la direttrice ed essendo F e A coniugati, A appartiene alla direttrice...ho quindi che le rette passanti per A hanno equazione $ mx-y+2=0 $
Poichè la direttrice deve essere perpendicolare all'asse, ho che la direttrice d ha equazione $ x+y-2=0 $
ho pensato allora la conica come il luogo di punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice e ho ottenuto il seguente fascio
$ (x-1)^2+y^2+k(x+y-2)^2=0 $
ho ragionato bene?
per il secondo non so come fare invece
un altro dubbio...ma partendo dall'equazione del fascio, quale condizione devo imporre per avere un'iperbole equilatera?
Risposte
"Dalfi":
un altro dubbio...ma partendo dall'equazione del fascio, quale condizione devo imporre per avere un'iperbole equilatera?
Sto studiando le coniche in questo periodo e ho molti dubbi anche io, quindi prendi questa affermazione con le molle e poi dimmi cosa ne pensi (poi magari qualcuno più preparato interviene)
"una iperbole equilatera dovrebbe avere gli asintoti perpendicolari e quindi essere nella forma $x^2/a^2-y^2/a^2=1$"
Ciao
ragazzi nessuno può aiutarmi gentilmente?
L'equazione giusta della direttrice è \(\displaystyle x-y+2=0 \).Non puoi imporre l'equidistanza da fuoco e direttrice:questa è una cosa valida solo per la parabola .Puoi invece imporre che il rapporto delle due distanze sia costante.Pertanto l'equazione del fascio si può aggiustare così:
\(\displaystyle (x-1)^2+y^2+k(x-y+2)^2=0 \)
dove k è legata all'eccentricità della generica conica del fascio.
Le iperboli di un fascio di coniche si trovano con la condizione : \(\displaystyle a_{11}+a_{22}=0 \)
Questo significa che i coefficienti di x^2 e di y^2 devono essere opposti oppure entrambi nulli.Nel caso del primo esercizio ( se a questo ti riferisci ) questi coefficienti sono k+1 e k+1.Non potendo essere opposti ,devono risultare nulli e ciò avviene
per k=-1.Sostituendo nel fascio si ha l'equazione dell'iperbole richiesta:
\(\displaystyle 2xy-6x+4y-3=0 \)
Per il secondo esercizio puoi osservare che ,essendo la retta y=0 ( asse x) asse di simmetria della conica ,questa deve passare per il simmetrico B di A rispetto all'asse x ,simmetrico che è B(0,-2).Inoltre la perpendicolare per V all'asse x deve essere tangente in V alla conica .A questo punto hai 4 punti per descrivere il fascio:A,B,V,V con V contato due volte.
L'equazione del fascio si può allora trovare formalmente così:
\(\displaystyle \lambda(AB)(VV)+\mu(AV)(BV)=0 \) dove VV ,come si è detto,è la retta per V perpendicolare all'asse x.
Facendo i calcoli hai :
\(\displaystyle \lambda x(x-1)+\mu(2x+y-2)(2x-y-2)=0 \)
Spero di non aver fatto errori.
\(\displaystyle (x-1)^2+y^2+k(x-y+2)^2=0 \)
dove k è legata all'eccentricità della generica conica del fascio.
Le iperboli di un fascio di coniche si trovano con la condizione : \(\displaystyle a_{11}+a_{22}=0 \)
Questo significa che i coefficienti di x^2 e di y^2 devono essere opposti oppure entrambi nulli.Nel caso del primo esercizio ( se a questo ti riferisci ) questi coefficienti sono k+1 e k+1.Non potendo essere opposti ,devono risultare nulli e ciò avviene
per k=-1.Sostituendo nel fascio si ha l'equazione dell'iperbole richiesta:
\(\displaystyle 2xy-6x+4y-3=0 \)
Per il secondo esercizio puoi osservare che ,essendo la retta y=0 ( asse x) asse di simmetria della conica ,questa deve passare per il simmetrico B di A rispetto all'asse x ,simmetrico che è B(0,-2).Inoltre la perpendicolare per V all'asse x deve essere tangente in V alla conica .A questo punto hai 4 punti per descrivere il fascio:A,B,V,V con V contato due volte.
L'equazione del fascio si può allora trovare formalmente così:
\(\displaystyle \lambda(AB)(VV)+\mu(AV)(BV)=0 \) dove VV ,come si è detto,è la retta per V perpendicolare all'asse x.
Facendo i calcoli hai :
\(\displaystyle \lambda x(x-1)+\mu(2x+y-2)(2x-y-2)=0 \)
Spero di non aver fatto errori.
grazie mille!!!
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